AM,T
de Rf on a T"'==/>=—i ,et par conséquent T"» = — A". Mais T" étant ce que devient T lorsqu'on met R'° ou — - 1 à la place de Il , on aura
T"=p—p'+ pH— p"'+ p"—p' + p™—p" ,
et cette suite , relative au nombre premier n = 4 1 , est égale à ± \Zn> suivant la formule de l'art. 5oo, ; donc pour que l'équation. . . . T'*» = — A" subsiste, il faut qu'on ait A"= — n= — 4'* C'est en effet la valeur qu'on tirera de la formule (a) en mettant R" ou — i à la place de R. Ainsi l'équation dont il s'agit est vérifiée dans le cas de n = 4i ou m=io. Mais en général une semblable équation aura lieu pour toute valeur du nombre premier n=4m+i; cette équation sera (T— ')'= A-'-'T»"— l, w — i eta/rc — 1 étant des indices et non des exposants. En effet T*— « représente la série
' . " *» . am — a 2«— — i
dont la valeur est ±1//», suivant l'article cité, etT""- * ou T*— étant la valeur de T lorsqu'on met R4 ou là la place de R , on a T«m-i —p + pt+ p"...+ p*—* = — i ; donc il faut qu'on ait généralement A*-1 = — n, équation que nous venons de vérifier dans Iecasden=4i et qui l'a été également dans le cas de «=i3.
Le cas de A" étant ainsi discuté et résolu, nous pouvons simplifier la formule (a), en employant l'équation
qui a lieu pour toute valeur prise dans la série R, , R1. . .R'», excepté le seul terme R" qui se réduit à — i , et qui doit être substitué dans le cas de A" dont nous n'avons plus à nous occuper. Avec cette seule exception, la formule (a) peut se mettre sous la
forme
(4) A=~aR,-aR4-aRl-^aR'-l-R'-aR9+aR'•-aR,,^-aR,J-^aR•^
d'où nous déduirons bientôt les valeurs particulières de A , A' , A", A" , A" , A* , A" y A"1 et A™1'.
3o4 THÉORIE DES NOMBRES.
(398) Les propriétés des fonctions T et A sont comprises en grande partie dans les équations (3), mais on a de plus deux autres séries d'équations particulières à chacune de ces fonctions. La première est le développement de 1 équation générale TWIV-*- «)=«, elle comprend dans le cas présent les dix équations suivantes :
^ rp fj,»«iii__rrwfpi»ii r£" 'yiTi rrtf,/ rr*iT «pu 'pu»
==TTT,,,'^=T"T*" 'j,»«»fp«' rp»m'j,«__ ^'pii^i
Il suffirait de donner la démonstration d'une de ces équations, d'où l'on déduirait aisément celle de toutes les autres, mais cette démonstration serait entièrement semblable à celles que nous avons données dans plusieurs autres exemples , et il est inutile de nous y arrêter.
Maintenant si on multiplie entre elles les deux équations T* = AT',
T'"". = A*","T",,Ï prises dans le tableau (3), on aura
(TTI",,)l=0rT"")(AA""'), ou /î'=nAA""'; donc /i=AA"m. Dans cette équation la fonction A peut être désignée par *(R), et
alors la fonction A"*" sera désigné par *(R*9) ou *(^) ; on aura donc *R*g=n; mettant dans cette équation R'/R', etc. à la place de R, on aura $R,Qjp=n,$R3$j^y=n, etc., ce qui donnera
n = A' A"' ' , n = A" A"' , etc. , d'où l'on voit qu'on aura pour les fonctions A une série d'équations semblable à la série (5) qui a lieu pour les fonctions T , savoir :
n = A A"*"=A'A""* = A" A'*' = AWA"= A" A"' ( ' S=ATA1,"=A"A,"=A",A"=A",,A';
mais cette série de neuf équations ne s'étend pas jusqu'à la dixième, comme cela a lieu pour la série (5), car on a prouvé que l'équa* tion (A")*=« serait inexacte, et doit être remplacée par l'équation A'=—n.
(599) Nous conclurons des deux séries (5) et (6), que n 7 est le
rao<tal« réel des quantités imaginaires T et A , de sorte qu'on peut faire
T=;/ï«(cos.cu4-t/— îsin.io), A=ft^(Côs.fl +1/— isin.e) r= /i » (côs. w'-f l/— i sin. «/) , A'= (cos. 8' +t/- 1 sin. 8') , et en général
TW=^ ^(cos.J^+l/-i sin.J»), AW=^(coS.iW + v/—, Si„. JOT)).
De plus on voit que les fonctions inverses de et A(m), savoir : j(*-a-i»)et ^(*a-ro)^ s'eXprjment en c},angeant simplement le
signe de |/— i dans les valeurs de et A(m); de sorte qu'on a T^UWV-i «n. J*V
A^-a-^=w:-(cos.e(OT)-i/- , sin.e^).
Donc si on réunit la somm* des fonctions T+T'+T'. , . +T"" a celle de leurs inverses T"1"-* T"" ,+ T\ la somme totale
a n • (cos. u -+- cos. »'+ cos. a". . . cos.»*"*).
Si l'on joint ensuite à cette somme la fonction Tmm ± et la fonction T"" qui n'est autre chose que p pi-t-jf' ... + p1" — — i, on aura l'équation
(7) 20f= — I±«7-4-2/lv(cOS.w+COS.«'+COS.o»".. . + COS. a" * ') ,
de laquelle on pourra déduire toutes les racines de l'équation cm p, et par conséquent toutes celles de l'équation proposée X = o.
Car chaque racine p étant de la forme //=âcos.~^, on en tire deux racines de l'équation X=: o, savoir : x= cos.— =fc|/— 1 sin. — .
Tout se réduit donc à trouver les valeurs des angles » , » , «" . . . U. 39
3o6 THÉORIE DES NOMBRES.
mais pour cela il faut connaître préalablement celles des angles e, ô', 0". . .6™* qui servent à déterminer les quantités A , A', A" . . .A"".
(Goo) Pour rendre la formule (4) applicable à tout terme A" de
la série A, A', A". . . A"*', il faut substituer RI+m à R, et on aura généralement
A<«) = a R 3+3* 2 R4+4-2 R5+5«+a R7+7m + R8+8« aR9+9"» + aR"+II'"aRI2+'^/i+aRi3-*-i3«I+aRi8+i8«
Faisant ensuite R=cos. ^ 4-1/— i sin. p., et
A(m) = « t (cos. 0^ 4- V/— i sin. ô^) , on aura pour déterminer b[m) les deux équations
n * cos. 6(") = — a cos. (3 4- 3 m) p. — a cos. (4 4- 4 "*) {* — 2 cos- (5 + 5 m) p. 4- a cos. (74-7^)11 -h cos. (8 -f- 8 m) p. — a cos. (9 + 4- acos.( 1 1 4- 1 1 m) ji — acos.( i a 4- 1 a/ra) p. -+- acos.( 1 3 4- 1 3m)p, 4-acos. (184- i8w){t.
n» sin.6w = — asin.(34-3/7i)p. — a sin. (4+4^)^ — a sin. (54- 5m) p. H- a sin. (7 + 7 m) p. + sin. (8 4- 8 m) p. — a sin. (9 4- 9 /n)p. 4-asin.(i 1 4- 1 iw)n — usinai a + 1 2/n)p.4-asin.(i34- i3m)|* 4- asin.(i8+ i8m)(t.
Réduisant ces deux équations d'après la valeur tt=^, qui donne pour un entier quelconque a,
cos. (20 a p. ± £ p.) = cos. ô p., sin. (ao a pi bft)=dzaîn.bp,
on aura
n ' cos. = a cos. (2 4- 2 m) pi — 2 cos. (3 4- 3 m) p.— 2 cos. (4 4- 4 m) p. 4- 4 œs. (7 4- 7 cos. (8 4- 8 m) p, 4- a sin. ~
n v si n . 9,>> = — a si n . (2 4- 2 /») (t — asin .(3 4- 3 m) p. — a sin . (4 4- 4 m) p. 4-3 sin. (8 4- 8 m) p. — 4 sin. (9 4- 9 m) p. — 2 cos. — .
Voici les résultats que fournissent ces formules appliquées aux valeurs particulières m=o, i , 2, 3, etc.; ils sont réduits à la forme la plus simple , au moyen des équations que donne la valeur iop=r, savoir: cos.(io — £)p. = — cos.&p, sin.(io — &)p=sin.£p, sin.p = cos. l\ p , sin. 2 p = cos. 3p, sin. 3p = cos.2p , sin.4p = cos.p, cos.4|* = — T + cos.2|ii, sin. 3 p = T H- sin.p :
/»• cos. 6= 1 -(-cos. 2(i — 6 cos. 3p. = — 1 .71769451937989
n 7 sin. 8 = sin. 2 p — 6 sin. 3 p — 2 sin. 4 = — 6 • • 6842 97465 4752 0=— io5-33'38".4567363
n7cos. e'= 7 4- cos. 2 (a = 3\ 3090 1 69943 74g5
«Tsin.0'=2sin. 2p — 7sin.4p = — 5.48182 5109481 13
n 7 cos.0"= 6 cos. p -+- 2 cos. 2 p — 3 cos. 4 p. = 6 . 39732 2 1 o33 9 598 n • sin.ô"= — 6 sin. p + 2 sin. 2 p + sin.4 p = o . 27262 5o546 3o42
fl"=2"26'2l". 5432637.
D'après cette valeur on a 8" =8 4- io8'=6 + 6p, et en effet on peut démontrer que cette équation a lieu rigoureusement, d'après les valeurs connues de sin. 8 , cos. 8 , sin. 8" et cos. 8".
n7cos. 8'"= — 1 — 5 cos. a p. = — 5 . o45o8 497 1 8 74735
/i7sin.8'"= — 3sin. 2p. + 6sin.4p = 3.942o8 334o8935o5 8"'= 141-59' 26". 2143000993
n 7 cos. 8,T= — 5
n7sin.8,T = — 4
/»• cos. 8' = 3 — cos. 2 p. =2.1 9098 3oo5C 25o53
/i'"sin.8T =7sin.2p + 2 sin. 4 p = 6.016609798637619
8* =69-59' 26".2i43ooo993=8'"—4ft.
L'égalité Ô'=ô'" — 4 m- rigoureusement démontrée par les for-
3o8 THÉORIE DES NOMBRES,
milieu qui donnent et
/<'eos.6" =j=)^6cos.i* — cos.2{* = — 5,oj535Go92i 45871
« « sin. 9T' w- 6sin. p. — 3 sin .3 fx— fiin.4 y, = — 3 . 98072 8987 1 «978a 6" «=— 1 4 1 * 3^ 38" 45«73 63 = ô — a pi.
/i'cos.ô" — — 7 -4- 5cos.2|i. =0.5450849718 74/35
« » sin.6'"s=*: 6sin.2(i-+- 3 sin. 4p. =6.37988 10626 4»3oo
«Tcos.ôT,"= 1 4- cos. 2 p + Cco*. 3|* = 5.3357a85o8i 3978 f)
n ' sin. ()""=*: — sin.2|i— 6sin.3|i4- asin.4|* = — 3 . 53977 4* 85g 5 1 84- 6""=-33,>33'38".45673 63=0 + 4i*
Rapprochant tous ces résultats, on a le tableau suivant des valeurs de b , où l'on voit que quatre de ces quantités telle* que 6 , 6', ô'", V suffisent pour déterminer Jes cinq autres
ô = — io5° 33' 38" .45673 63 1' =— 58 53 o .i8i38a97 û" = 2 26 21 .5432637 =0 1080 h'" = i4i 26 .aj43ooo993 (9) ô" = — 1 4 1 20 24 .6902852726
$r œ 69 5g 26 . 2i43o 00993 jx h'"—- 7a* r «s— i4i 33 38 .4567363 s=e — 36° ô*"= 85 6 59 .81861703 =6' -f- i44° 9-"= — 33 33 38 . 45673 63 =e 4- 72e
(60 1) Venons maintenant au calcul des angles <*. On a par les équations (3)
