T— II T"' — 111— T-—1*' * T

T»»— mi:— i"

1 — A"" ~A«A"A"i7X^ Multipliant la valeur de T" par celle de T", et observant que par

CINQUIÈME PARTIE. 309 If* équation* (5) po a T" T 'm », Je p rodait donne

Substituant dans cette équation les râleurs de A, A', A'", AT" , exprimées en fonctions de ê , ô' , fl'", 0*" ; substituant également pour T sa valeur en fonction de », on aura

et par conséquent

(16) a— ">*+w+**"+ se+a^r^ 7a«

Substituant enfin dans cette formule les valeurs approchées des angles 0, on a la valeur approchée

o»=-49aa'46".6«i35 3o3i.

Cette valeurest nécessaire poiirnous diriger dans la détermination des autres angles de manière à éviter toute espèce d'ambiguïté dans la formule générale de solution, ■-'■•! M 1 .

m étant connu on a les valeurs tant exactes qu'approchées des angles «', o»'", «o"' , «avoir : *

»' =2u—H = faS' 5".i34o3oa38

«'//=4«— û' *=73 Ag 10 .449443446 «*"=8«— 4e— a 6'— e"'= 5 38 54 . 68458 6793

Ces premiers résultats font connaître la valeur des quatre fonctions T, T\ T\T" et de leurs inverses T"'", T"", T", T".

(<ioa) Pour aller plus loin il faut commencer par chercher la valeur de T' au moyen des deux équations T"* = A'T", T*»= A"T", d'où l'on tire

T"4 = A"' A* T" = HJïlIÙl

et par conséquent

4«"=aô"+6T—

3io THÉORIE DES NOMBRES.

Mais comme le second membre de cette équation peut être augmenté à volonté de 2ir, 4;r et 6r, on aura quatre valeurs de t»", savoir :

„ aô"-+-ft'— »*" „ a*"+8»— w"' ,

W — ^ hîT, W = ^ hT7C,

entre lesquelles il faut choisir celle qui devra correspondre à la valeur prise pour u>.

Pour faire ce choix il faut recourir au principe dont nous avons déjà donné diverses applications; il consiste à déduire T" du produit TT', au moyen de l'équation TT'=M T" dans laquelle M doit être une fonction de R seule qu'il s'agit de déterminer. Je remarque d'abord que cette quantité M , en tant qu'elle résulte de l'équation TT'

M = -yr , a pour expression

M=f»' [cos.(« W— «O+W— i sin.(« + «'—»")]>

ce qui assimile sa forme à celle des quantités T, A, T, A', etc. Si donc on trouve directement

M=/i»(cos.e + l/ — isin.0), on aura «-+••»' — «"=0, et par conséquent

Comparant ensuite cette valeur aux quatre déjà trouvées , on verra laquelle de ces quatre valeurs doit être adoptée.

Tout se réduit donc à trouver la valeur de M d'après l'équation TT'=MT", et on voit que M doit être égal au coefficient de p dans le produit développé et réduit à la forme linéaire des deux jxriynomes

Considérons d'abord la partie

dans laquelle il faudra substituer les valeurs des carrés p'=2 +p"y p' = a + p"' , etc. : le terme constant 2 , commun à tous ces carrés , étant la même chose que — 1 p — etc. , le coefficient de p qui en résulte pour faire partie de M , est

— a(i+RJ + Rs+R9 + Ri7).

Cette quantité multipliée par 1 — R'qui n'est pas nulle (même quand 011 mettrait à la place de R un terme quelconque de la suite R* , R3 , R*. . .R'9), donne le produit — a(i — R6") qui est nul : elle peut donc être entièrement omise dans la valeur de M.

Il ne faut donc considérer dans cette première partie du produit TT que le seul terme y?,",,R4'=fa -+- />)R4' qui donnera dans M le terme R4' ou R*.

Soient />^,/>vdeux termes consécutifs du tableau (1), il y aura dans le produit TT' deux termes

pV-p\R^+*+R*+"),

qui , à raison de la partie p comprise dans/?^/>v, donneront dans M

les deux termes Raft+V H- R*4"*" *\ Voici le résultat de tous les termes formés semblablement d'après le tableau (1),

pp" . . .R' +R" pm"p* ...RM+R4* P""P" >. .R^+R"

p%'p" . ..R'VR" p'p""'. . .R*h-R** p"p'" . . .R,0-t-R"

p'p"' . . . R"+R'9 p""p"" . . . R"-i- Rî4 p"p"' . . . R"+RM

p^'p" . . .R '+R'6 p""p"" . . .R4î-t-R4' p"'p"*. . .Rs,+R*<

p"p" ...R,s+R*4 pry ...R9-»-R" p"Y". . .R4--hRs'

p"pn . ..R'9+R,, p'p" ...R^-hR1'

pnpm" . . . RM+R4S p"p"' . . . R"+RJ7

Ajoutant toutes ces puissances de R au terme déjà trouvé R' , et réduisant les exposants d'après l'équation R" = 1 , on aura

3ia THÉORIE DES NOMBRES.

M=3R' -hR'+R^R* + 4 Rs 4- 2 R' 4- R* -t- 4 R' + R* 4-4R,,+aR"+aR'4+4R,i+3R"+3R,'H-2R',+R''.

Cette quantité , réduite ultérieurement au moyen des équations R"*»— i , i — R' -h R1 — -R6 + R*=o, donne enfin

(ia) M=— 5R + aRJ— 4R4 + 2R».

(6o3) Substituant dans cette formule les vaîeurs

R^cos.n + l/— isin.|i, M^/i*"(cos.0 + l/— isin.0), on aura l>our déterminer G les deux équations,

«•cos. 0= — jcôs.ji-f* 2cos.3f*=— 5.48182 5roo48i n*sin.0 = — 3 — sin.jt = — 3.309016994375

d'où l'on tire

Il suffît d'ailleurs de comparer les formules qui donnent 0et 6' pour s'assurer que l'équation 0 = %' — 7», n'est pas seulement approchée , mais qu'elle est rigoureuse.

Connaissant 0, l'équation m"*=o&» — 0 donnera

tofttfi 8" . 65406 o 1 77.

D'un autre côté on a

îO±^== 1 r 18' 1 8". 654o6 01 77 ,

on voit donc que parmi les quatre valeurs de «" rapportées ci-desdus , celle qu'on doit choisir pour correspondre à la valeur prise |K>ur u est

On a aussi en d'autres termes J'—m -+• »' — 0, ou

ensuite to* se déduira de l'équation T=-£7rqui donne ^— aw"6"=6co— aô— aô'— Q"-4-x,

ou

Au moyen des angles <■>" et *»' on connaît maintenant les fonctions T" et T% ainsi que leurs inverses T"' et T*'". Il ne nous reste plus à trouver que les valeurs de T", T" et T"" qui feront connaître leurs inverses T'", T"' et T'.

(6o4) La valeur de T" peut être tirée des équations T"«=A'*T", T"» =n, d'où résulte T"*=/i A'*' , et par conséquent

4*>"= 20" +2/**, ou w" = Te" 4- 7/1»,

// devant avoir l'une des valeurs o, 1 , 2, 3.

Pour fixer cette incertitude nous aurons recours à l'équation TT"==NT" où N doit être une fonction de R seule, ainsi expri-

N=/i7 [cos. (« + — \/ — 1 sin. (» -+- — «")]. Donc si on trouve directement

N=^/iT(cos.A-+-V/ — 1 sin. A), on aura w -t- « " — = A , ou

on aura donc aussi w + u'" — A = j8"-t- 7 A*, 011

A = M W— îr~7A«=5«— 2«— e'— fô" — 7/ir.

D'ailleurs ona5M = fe+Tô'+ 7 8" ■+■ 36"; donc

A = T(e + 6") + 36° — 'thir,

ou en valeurs numériques

Maintenant la valeur de N , calculée directement, n'est autre chose que le coefficient de p dans la valeur du produit TT'" développé et réduit à la forme linéaire; or, par le même procédé qui nous a servi à déterminer le coefficient M , on trouve

— io(n-Rî4-R,*+R,i)+R,°

+2-MR + aR*+3R,+R4+Rs+3R64-3R'+aR, + 3R»

+ 2R'-H-3R,,+aR',+R',+R,5+R'6+R"+3R'9.

Cette valeur de N a lieu quand même au lieu de R on mettrait R', R', R4. . . jusqu'à R", ce qui changerait N en N', N",N ". . .N""'. Mais pour les valeurs N, N", N". . .N"'" dont l'indice est pair, on pourra simplifier la formule en faisant R"= — i , et i — R*+ R* — R6 f-R' = o, ce qui donnera la valeur réduite

Comme il ne s'agit ici que de la première valeur de N qui répond à la valeur R == cos. ji \/ — 1 sin. ji , et qui est représentée par

n 1 (cos. A+^/ — 1 sin. A) , on aura les deux équations suivantes pour déterminer A ,

n • cos.A=4cos.ji — 4cos.3{* — 2COS.3(a=— 0.60741 24169 o4i 18 w»sin. A = 2 -4- 8 sin jz +• asin.4f* = 6.374^8987589876 Ces équations donnent

A=95-26'36".13324, d'où il suit qu'on a h = o et «"=7(1", ou par approximation

On peut aussi mettre «" sous la forme

comprise dans la formule générale «w=(m+i)*»-»-aw, «w étant une quantité qui ne dépend que des quatre angles 0, 0', 0'", 0", et de l'angle |i= 180.

La valeur [de T" étant connue par celle de w", on connaît en même temps son inverse T""; de plus cette même valeur détermine

celle de T" par l'équation T'^-^-; car ayant w'T=-~6", on a

T,*»=/i(cos.9"-f-l/ — i sin.8")=«' A'% et par conséquent T"=nY.

Nous'savions déjà que T'1 ne pouvait être que -h n~ ou — nT; ainsi il ne reste plus d'incertitude sur cette détermination.

(605) Venons maintenant aux fonctions T" et T"", les seules qui nous restent à déterminer avec leurs inverses T*" et T".

On peut tirer T" de l'équation T*' = A"T',M = î~ , qui donne

2w" = J" — m* ou 2u"=9" — «T+ as, et par conséquent

0" M» &»« Ci»»

<■»" = OU U»" = h 77.

De même T"" peut être tiré de l'équation TT,,,»= AT",TIT"=^£,~ qui donne les deux valeurs

Ensuite pour décider, dans chacun de ces cas, quelle est la valeur qu'on doit adopter, on pourrait recourir à lu méthode ordinaire qui consiste à chercher les quantités P et Q , fonctions de R seule, d'après les équations TTT, = PT'", TT'" = QT"". Car connaissant T et T™, ces équations donneront les valeurs de T" et T"", ou celles des angles w" et ta"".

Mais il se présente dans ce cas un moyen plus simple de parvenir aux résultats cherchés; et ce moyen qui pourra être employé dans des cas semblables, a l'avantage de fournir une nouvelle suite de théorèmes sur les fonctions T.

(606) Reprenons l'équation TT'=MT" et supposons que dans cette équation on substitue successivement R', R\ R4. . . jusqu'à R'» à la place de R; ce qui changera M en M', M", M"'. . .M"'". On formera ainsi une nouvelle série d'équations qui sont autant de théo-

3io THÉORIE DES NOMBRES,

rèmes sur les fonctions T, savoir :

rrr=Mr,TT"=MT, rT=M",ri", t"T',,=m"T",

'L,"T'1 M"T*" T" T" ^[*rJ,",, rj,«irj,*i»i M*1 T r V* ' ' T** M *',rY'"

^ i ^ ^«m'j'itii ]\[""T" fj"*T"I,~~ M'^T'" XJX' M'T*" T* ' T"* M" T**

'j,»n'j,»=]y|«ii,j,»«iii rptiiifp»ii iy^»ni>p> rj,»i»fp<»__'^£in'p(f rpi»»pii__^|«'p»ii

Dans la série précédente si on multiplie entre elles les équations extrêmes , ainsi que deux équations quelconques également éloignées des extrêmes, les produits offriront une propriété des fonctions M analogue à celle des fonctions A, et contenue dans les équations suivantes :

Cette suite ne s'étend pas jusqu'à l'équation /i = (M")' qui serait inexacte; on voit au contraire par la io* des équations (i5) qu'on a M" = T'"=— i.

Il résulte de ces équations qu'un ternie quelconque delà suite M, M', M", etc. peut se représenter par la formule

M(m)=«Ucos.e(mW-i sin.eOT).

Dans le cas de m = o, nous avons déjà trouvé par la formule (la),

M =»T(cos.0-f-l/ — i sin.0),0=d' — jit.I/orsque/w sera un nombre pair , ce qui a lieu pour tous les termes M", M" , M" , etc. , on pourra calculer encore par la formule (la) l'angle ew qui répond à Mw,

en mettant dans cette formule R"1-*"1 ou RJI+I à la place de R : il en résultera les deux équations,

tt7COS.0va') = — 5cOS.(2t + + 2COS.(6* + 3)|A

. — 4cos.(io/+5){i + 2cos.(i8t + 9)lu

n 1 sin.0v — — 5sin. (ai + + 2sin.(6t + 3)|*

— 4sin.(ioi + 5)|* + asin.(i8t + y)|A.

CINQUIÈME PARTIE. 3i7 Par exemple pour trouver la valeur de 8" dans la formule

M" = /ï' (cos.e"+l/ — isin.e"), on fera 21 = 2, ce qui donnera les deux équations

n » cos. e"= — 2 cos. jx — 7 cos. 3 11 « 1 sin. 0"= 3 — sin. 3 (i.

Comparant ces équations à celles qui déterminent h" (art. Coo) , on en déduira

De même pour avoir la valeur de 0" qui donne

M" == n~ (cos 0" 4- W— 1 sin. 0") , il faut faire 2 i= 6 , et on aura n • cos. 0" = 2 cos. [i -f- 7 cos. 3 (t

/t T sin. 0" = 3 — sin. 3 u..

Donc 0" =* — 0"=7ic — 6\ Ces deux résultats vont nous servir à compléter la solution de notre problème.

(607) Pour revenir aux équations (i 5) qui sont autant de théorèmes nouveaux sur les fonctions T , nous remarquerons que les coefficients de rang pair M', M'", M*, etc., produits par la substitution de R* , R4 , R', etc. au lieu de R dans M , doivent se tirer de la formule générale (n) et non de la formule réduite (12) qui n'a pas lieu pour ces coefficients de rang pair. En effet l'équation R,0= — 1 que suppose la formule (12), cesse d'être exacte, lorsqu'au lieu de R on met R', R4 , ou en général R»', puisqu'on n'a pas R»°' = — 1 , mais bien R*°'= -+- 1.

Ainsi, par exemple, pour avoir la valeur de M' on mettra R' au lieu de R dans la formule (1 1), et on aura

M'=— 4 — 3R'— aRs — aR»

n ' cos. ©' = — 5 + cos. 2 jx

«• sin.0' = — 5sin.2ji — 2sin.4{*.

Ji8 THÉORIE DES NOMBRES.

De là on tire la valeur exacte

qui donne

M = « £ [cos. (0 — 4 10 + 1/— i sin. («'— 4 jt)].

Par cette valeur de M' on calculera directement celle de T* au moyen de l'équation Tr=M'T', et on aura

wT=w -»- w"' — 6' H- 4^1

ou

valeur qui s'accorde avec celle que nous avons déjà trouvée

w* =6o>— a 0 — 1 0 — ô" + i o (/. ; car en les égalant on trouve 6"= 6 + 6(i, ce qui est en effet la valeur de 8".

Après avoir déduit des équations T'= A T', T T'= M T les deux suites de théorèmes compris dans les équations (3) et (i5), on doit voir maintenant qu'il serait facile de déduire une suite de théorèmes semblables de l'équation TT"=NT", et de beaucoup d'autres de la même nature telles que TT"=BT"', TT"=DT', etc. Mais ces théorèmes, si faciles à multiplier, sont inutiles pour l'objet que nous avons en vue, c'est-à-dire, pour la détermination des divers polynômes T,T,T",etc. en fonctions de la racine R; car le petit nombre d'applications que nous avons faites de la série (i5) et de l'équation TT"'=NT", suffit pour la détermination dont il s'agit, ainsi que pour la résolution générale de l'équation X=o dans le cas de /» = 4i-

(608) En effet, au moyen de la valeur 6"= 0*4- -j- k , qui détermine M", l'équation T"TT— M" T"" qui est la troisième des équations ( 1 5), donnera l'angle w™' qui détermine TT"', savoir :

ou

w"»=gw— 40— 3o'— o"'+ i44*.

En second lieu, la valeur G"z=.\r. — Ô'=i62# — 0'" qui détermine M", fera connaître «" par l'équation T"=:^7J=M TT , prise