CINQUIÈME PARTIE. 3a i

«".. la formule dans laquelle on changera le signe de donnera pour résultat acos. ^™ Or je remarque que dans la série des racines déterminées par la racine primitive £=i3, la racine a cos. ^ précède la racine acos. D'où il suit que les substitutions successives de w-j-njw-t-ajj^w-^ji, etc' * 'a P'ace ^e w' donneront toutes les racines de l'équation proposée dans l'ordre inverse de celui qu'indique la racine primitive g= i3; en vertu decette valeur de g, on aurait, à partir de la racine p = a cos. ^ » la série des racines p, p\p", etc. dans l'ordre suivant :

-aie , a6ic n ion „, 34 «

p ^-acos.^,/* =acos.77,/> ^acos.-^,/» ^aces.-^,

3aic 6w . 4* ... 3ott

acos. ^acos.^/?" =acos. ,/>•"= acos.-^-,

,.„ aox „ i4« i8k tait

/>"«■= acos. -jï>P =2COS.-—tpx = 2Cos.-^-,/>" =acos.— ,

... 8ïc .... aaïc ... Aoit aSrr

/j1" = acos. j-t ,/»""= a cos. ,/>>"•:= a cos. ^- ,/»"=acos.-^- , =a cos. , * = a cos. , ^"n,= a cos . , p"'= a cos. •

La formule donnera donc, à partir du premier terme acos.-^p

qu'on peut toujours désigner par p , les termes de la même série pris dans un ordre inverse , de sorte qu'on aura successivement

i8ir i n » a«»r , ». , 0 />\

acos. -t— = H 1 cos. *4 -4- cos. (a w + b) + cos. (Jw+a )

41 ao ao ao v x '

+COS.(4ca+*")' • .-+•COS.(9ft»^-a",,)]

a cos.__ = — - - - + — - [cos. (• + f) + cos. (a « + a p + «•)

+COS.(3«*+3|t-Ha"). . .+COS.(9«4-9ji4-*"")]

acos.^=— i+ 21+ ^tl [cos. (* -f- afi) + cos.(a« + 4n + «')

+ COS.(3»+6^+a'). • .+COS.(9«+l8PL+aT"*)],

etc.

En général on pourra exprimer une racine quelconque acos.^ par la formule

a*7T . I M * COS. fît T;

a cos. -7— — 1

o [COS. fi 4- COS. (2 fi 4- et') 4- COS. (3 fi 4- «") -4- COS. (4 fi 4- a" ) + COS. (5 il 4- a,v) 4- COS. (6 fi 4- et') H- COS. (jSl + a") 4- cos. (8 fi -h »••■) 4- cos. (911 4- av'")] ,

en faisant fi = w-j-mjx,/«4- 1 étant le rang qu'occupe 2/ dans la suite 18, i4, 20, etc., comme on le voit ici :

a/' = 1 8, 1 4 ? 20, 3o, 4; 6, 3a, 34, 1 o, af>; a , 38, 1 (>, 24, 36; 28, 40, 2a, 8 , 1 2 /»= o , 1,2, 3,4;5, (», 7 , 8, 0 ;io, 11,12, i3,i4;i5,if), 17,18,19

Par exemple pour que la formule exprime la valeur de 2cos. ^ ,

il faudra faire m — 10 et fi = t>>4- ioa = w+ it, ce qui donnera le résultat suivant : .

•icos. — = h —

41 ao ao