COS. (4 w 4- et'") — . . .— COS. (C/w 4- a"")J

Ces divers exemples dont les calculs ont été développés avec toute l'étendue nécessaire, prouvent qu'il est toujours possible de trouver une formule générale qui contienne et donne a volonté toutes les racines de léq-uation en p, d'où l'on j>eut déduire toutes celles de l'équation X=o, n étant un nombre premier quelconque.

Exemple IV. «=17, * = 8.

(bu) Quoique la résolution de cet exemple ait été déjà donnée (art. 535), cependant il ne sera pas inutile de faire voir comment notre nouvelle méthode conduit à une formule générale qui com-

prend sous la forme la plus simple toutes les racines de l'équation à résoudre. Cette équation est : %

o=p> +p' — jp6 — 6/>s+ i5p*+ îop* — iop' — 4/>+ 1 ,

et nous supposerons à l'ordinaire que ses racines sont p,p',p" ...p"". Si on prend la valeur #=3 pour racine primitive de 17, ces racines désigneront les huit périodes à deux termes (2: 1), (2:g-), (2 : g') ... (2 : g1) , et en conséquence elles devront être rangées dans l'ordre suivant :

p =r' + r- p" —rs+ r~4

p =rî -I- p" =/* -t- r~s

p'"=ri + r"' r"6

On peut aussi, pour les applications que nous avons à faire, ranger ces mêmes racines dans l'ordre des exposants de r , comme il suit :

(612) Nous supposerons à l'ordinaire

R étant une racine imaginaire de l'équation R' — 1=0 , racine qui doit être choisie de manière que par ses puissances successives elle donne toutes les racines de la même équation.Telle est par exemple,

la racine R = cos.|i. 4- K— 1 sin. en faisant ja=^ = 45°.

Nous désignerons également par T', T", T",T", T,T", ce que devient la fonction T, lorsqu'on met successivement R'jR1, R',R5, R6, R7 à la place de R.

Cela posé nous avons vu en général que dans l'équation T'= AT', A doit être une fonction de R indépendante des racines p, et qu'ainsi

3a4 THÉORIE DES NOMBRES.

A est égale au coefficient de p dans la valeur du carré T' , développée et réduite à la forme linéaire A.p + ftp'~h Cp"+ etc. Dans ce développement nous devons d'abord considérer la partie

où il faut substituer les valeurs pt=a+p'"ip,,=n+p'"'tp"'=2-i-p, p "' =2+p\ etc. Et parce que le terme constant 2 qui se trouve dans chacune de ces valeurs, est l'équivalent de — o.p — 20' — ao" — etc., il est visible que les termes de A, dus à cette première partie du développement de T' , sont :

La seconde partie du développement deT' est composée d'une suite

de termes de la forme 2/?'A/?vRfA+v; mais parmi ces termes nous

ne devons considérer que ceux dans lesquels le produit p^pv contient p, et nous voyons par le tableau (1) qu'il n'y a que sept de ces produits qui remplissent cette condition, savoir:

pp'\ p"p, pp'\ p"p\ p"'p\ p"'p".

Chaque produit p^p* donnera dans A le coefficient aR^1 ; et la somme de ces coefficients donnera dans la valeur de A la partie

2R6 + aR7-t- 2R5 + aR9 + 2R"+ 2R"f a R\

Réunissant donc ces deux parties on aura la valeur totale de A ,

savoir :

/ a(n-R,+R4+R4+R* + R*°+R"-i-R'<) + R* W —\ +4Rs + 2R« + 2R'+2R,'+2R"-t-2R'\

(61 3) On sait par la théorie précédente qu'il ne suffit pas de connaître la quantité A , mais qu'il faut aussi connaître les quantités A' , A", A " ... A", déduites de A en mettant R', RJ , R* . . . R' à la place de R, ce qui est la même loi suivant laquelle les fonctions T',T", T". . .T" se déduisent de T. Il faut donc regarder la formule (2)

comme représentant sept quantités différentes A, A', A". . . A", qui résulteront des substitutions indiquées ; or à 1 égard de toutes ces quantités, excepté seulement A'", on peut supposer la partie. . . — 2(1 +R'+R4-t- . . .R'4) égale à zéro, parce que cette partie multipliée par 1 — R' (qui n'est zéro que quand au lieu de R on met R4, afin d'avoir A'") donne pour produit — 2(1 — R,s)=o. Ainsi la valeur de A se réduira dans tous les cas dont il s'agit (excepté celui de A'") à la forme plus simple

A = R4+ 4 Rs + 2 R' + 2 R7 + 2 R' t- a R ' -h 2 R\

Celle-ci étant réduite de nouveau au moyen de l'équation R( = 1 , de laquelle on peut exclure la racine R = 1 , et qui devient ainsi 0=1 -t-R+R'H-Rî+R4+R5+R8+Rî, on aura

(3) A =— a-aR'+R' + aR*.

Cette formule très-simple va nous donner successivement les valeurs de A , A', A", A,T, A* et A" ; quant à celle de A'", elle doit être déduite immédiatement de la formule (2) en mettant R4 , c'est-à-dire — 1 à la place de R; car l'équation 0= 1 — R'=(i — R4) (1 + R4) ne peut subsister qu'en supposant R4= — 1 , puisqu'on ne peut pas avoir R4 = 1. Substituant donc — 1 à la place de R dans l'équation (2) , on aura

Atft

ce qui s'accorde avec la théorie que nous avons développée dans d'autres exemples.

(61 4) Maintenant si dans la formule (3) on substitue les valeurs

A = n ' (cos. 0+1/ — 1 sïii.O) , R =cos. ^ +1/ — 1 sin. p, on aura pour déterminer 0 les deux équations :

n 7 cos. 8 = — 2 — 2 cos. 3 (x -1- cos. 4 j* + 2 cos. 5 p ^ /iTsin.6 = — 2sin.3p + sin.4[A+ 2sin. 5ji.

Puis faisant ^ = ^ = 45% on aura

3a6 THÉORIE DES NOMBRES.

«vcos.Q= — 3, /i'siu.6 = — al/a,

d'où résulte la valeur approchée 6 = — i3G* 4i' io". ia.

Pour avoir la valeur de ô' qui donne celle de A\ il suffira de mettre a ^ à la place de p dans les équations (4), ce qui revient à mettre R' au lieu de R dans l'équation (3) ; on aura ainsi

«•cos.ô' = — a — acos.GjA-t- cos. Spt + acos. lOp. — — i

n~ sin. b' = ~2 sin. 6 p. + sin. 8|x -f- a sin. iop = 4 ,

ce qui donne H'= io4"a' io".48-

Pour avoir 6" on mettra semblablement 3|i à la place de jt dans les équations (4), ce qui donnera

cos.e"= — a — a cos. 9 cos. i2(A+acos. i5|a= — 3

«• sin. 6"= — a sin. 9 ft -h sin. ta^+asin. i5|i = — al/a;

donc 6"=e = — i36«4i'io".ia.

Comme on a déjà déterminée'", qui est le cas d'exception, il est inutile d'aller plus loin , parce qu'on sait a priori qu'on doit avoir A"A" = rc, A'A* = /î, AA"=«, et qu'ainsi on doit trouver... 6"=— 6"=— ô,û' = — 6', 6" =— 6. C'est aussi ce qu'on déduirait aisément des équations (4). Car pour avoir 0" par exemple, il faut mettre 5jt à la place de p dans les équation (4), ce qui donnera

n • cos. 6 " = — a — a cos. 1 5 p. + cos. 20 f* + 2 cos. a5 p = — 3

/zTsin.6"= — asin. 1 5 u+ sin. 20 p-t- a sin. 25p.=al/'2;

donc 0" = — 6".

De même si on met 6ji à la place de jt, on aura

n1 cos. 6"= — a — aeos. i8p.+cos. a4p-t-acos. 3o(i= — 1 nï$in.6*= — 2sin. i8pt +sin.a4|A + 2sin. 3oja = — 4; donc6'=— 6'.

On trouverait enfin ô"= — 6; ce qui est une nouvelle vérification des propriétés connues des quantités A.

(6 1 5) Venons maintenant à la détermination des fonctions T; nous aurons pour cet effet la série d'équations

T'^AT, T"=A'T"\ T'"=A"T', T""=A"T"\ W T">=A"T', T*»=A'T", T'T,= A"T'r

à laquelle on peut joindre les deux séries

n = T T" = T'T* — T'T" = T"' ( ' n = A A" = A' AT = A" A" = — A'".

On trouve d'abord par les équations (5) T4=«TA* A', d'où il suit qu'en supposant à l'ordinaire T = n ■ (cos.o>+l/ — i sin. w) , on aura

u= îi+i = 4a-ao' 2". 44.

Connaissant m et par conséquent T , on aura T' — ce qui donne

et ensuite l'équation T"= donne

Cette valeur apprend queT' = n> ; l'équation T'"*= A'"T", dans laquelle A"'= — n, et T"'= — i , donnerait T"' = n, et par conséquent T"' — ± l/rc.- l'incertitude des signes est fixée par la valeur nulle de qui donne T"= -+- l/w.

Nous connaissons T et T', ainsi que leurs inverses T" et T', il ne reste plus à déterminer que la fonction T" qui fera connaître

son inverse T". Pour cela nous avons l'équation T"' = A" T'==-t^-

qui donne 2u" = d" — w' ou 0" — w -4- as. Donc la valeur de w" ne peut être que l'une des deux

3a8 THÉORIE DES NOMBRES,

ou en valeurs numériques

w" = — 94-ai'7".68 «"=4- 85-38' 5a". 3a.

(6 16) Pour décider a priori laquelle de ces deux valeurs doit être prise pour correspondre à la valeur de u, il faut avoir recours à l'équation TT'=MT", dans laquelle M doit être une fonction de R seule; et l'on voit que M sera le coefficient de y? dans le produit TT développé et réduit à la forme linéaire. Or on trouve par la méthode dont nous avons déjà donné plusieurs exemples,

M=a 4- 3R4-RJ4- R44- 3R*+4R' + R7,

valeur qui, au moyen de l'équation R4= — i , se réduit à la forme très-simple

Fa isan t donc M = n~ (cos. 6 4- \/ — i sin. 0) et R = cos.fi 4- \/ — i sin . on aura pour déterminer 0 les deux équations

mais on a trouvé ci-dessus /i»cos.6 = — i et n1 sin. 0 =4; donc 6 = 0'—*.

Cela posé, de l'équation TT=MT" on tirera

Ainsi on voit que c'est la seconde des deux valeurs trouvées ci-dessus qui doit avoir lieu, savoir :

tt"=3»-9-e'4-*=85-38'5a".3a.

Maintenant si on fait une somme des trois quantités T,T',T" et de leurs inverses T",T',T"; si ensuite à cette somme on ajoute