a . 3. . .n — a nH-i.n-t-a...a« — a

Or ces deux quantités doivent être des nombres entiers , puisqu'on sait en général , par la formule du binôme, que la quantité

<-.c-j- 1 .c-f-a. . ,ç-\-m — 1 1 . a . 3. . . . ru

QUATRIÈME PARTIE. a5 est un nombre entier. Donc faisant a'—'n N=E et (an— a)2*",N=E\ on aura

11 — ai.-. >

d'où l'on voit que le coefficient N du ternie Nz' ne peut avoir pour dénominateur que la puissance a"~' ou une puissance inférieure de a , lorsque n sera impair.

Pour déterminer dans tous les cas ce dénominateur , il faut recourir à la première formule,

a. 4-6. 8... an '

et on voit que dans la valeur réduite de N le dénominateur ne sera autre chose que la plus grande puissance de a qui divise le produit a.4-6. • .an, ou, ce qui revient au même , le produit i .2.3. . .an. Or on a donné ci-dessus ( Introd. , n* XVIII ) l'expression générale

de cette puissance, laquelle est aa"— v, v étant le nombre des termes

a* + a6 -f- a? etc. dont la somme forme le nombre an.

(357) Pour revenir à la résolution de l'équation a=oTy, lorsqu'on fait a= — 1 ^ 8 a , supposons qu'on développe db 8a) en série, de la même manière que \/{\ -+- z), ce qui donnera

K(.±8.)=. * i 3V±^uV-i^a.V± e,c.

Un terme quelconque de cette suite peut être représenté par N . a* «*, et comme N est une fraction qui a pour dénominateur a élevé à la puissance an — 1 au plus, il est clair que tous les termes de cette suite se réduiront à des entiers divisibles par des puissances de a de plus en plus élevées.

Imaginons maintenant qu'on neprolonge cette suite que jusqu'aux termes exclusivement qui sont divisibles par a"~ ' , et dans cette hypothèse faisons

e=i ±i.as« — iii.a^-ii^.a'.1— i^^ ^'^ietc. a a. 4 a. 4-0 a.4-o-o