i/"=^(ia3^- 11/')+ io/V(iaV

(66a) Cette équation fait voir que 3 g-' — /v est divisible par 5; soit donc f'=3g' — A', on aura

ou en faisant le développement :

F+ GV5=- A* + 5AV(3 + ^5)— ao*V*(7 + 3V/5) + 8oAV(9 + 41/5) — 4o/»V4(47 + ail/5) + 16^(133 + 551/5).

Multipliant tout par — 1 1 et mettaut au lieu de 1 1 1/5 la valeur fictive — on aura 4* G'— 1 1 F, ou

5" u"== A'(i 1 A'«— 4aAV+ 64 A''^-'1 — $8h'§f* + 16/4).

Maintenant A' étant divisible par 5 et ne l'étant pas , cette équatien ne peut se partager en deux autres que de cette manière

11 A"— 4aAV+ 64A"^'-48AV1+ 16^^=/'-,

ce qui suppose u—u'r" et r" premier à 5u'.

Cette dernière équation peut être mise sous la forme

4r"" = (8/'— ia#'A'+ 7 A")'— 5 A'*,

d'oè il suit que r" doit être de la ferme p% — 5^'; il en eat.de ntème de r"4, on peut donc faire r"*=/"' — 5g"\ ce qui donnera

r"~=F''__5G"\ Soit maintenant 4=^—57*, p. et v étant des nombres impairs, on pourra supposer

8g» - iagVi'+ 7 h" + À"|/5 =(F'+ G'V5) (u + vi/5),

ce qui donnera

À* = rtG"+*F\

Mais puisque /t' et G" sont divisibles par 5 et que F" ne lest pas, cette équation ne peut subsister à moins que v ne soit divisible par 5. Et comme on a en général p + vl/'5=(3 + i/5) (m -4- n 1/5), ce qui donne fi = 3m + 5/i, v = m + 3n, on ne pourra admettre que les valeurs m = i6i,rc= — 7a, d'où résultent ji= ia3, v= —55, de sorte qu'on aura h'* ou

5"«""=ia3G"- 55F'.

(663) Nous retombons ainsi sur une équation semblable à l'équation déjà considérée 5"tt"= ia3G' — 55F; d'où il suit que les mêmes transformations pourront être continuées à l'infini , ce qui supposerait infinies les valeurs primitives des indéterminées.

Car ayant fait successivement x = — Str, t — ur\ u — u'r", u—d'r"\ etc., on aura t=ur'=u' r'r" = u"r' r" r'", etc., de sorte que le nombre des facteurs r augmente continuellement dans l'expression de t. Ces facteurs sont déterminés par des équations qu'on peut réduire à la même forme, savoir r/M=r* 5 rh* ■+■ 5 h*, r"" = r'* + 5 r" À' + 5 A'4, etc. , d'ailleurs on a A=5V% h'=5" «"% h" = 5" «"4% etc. , de sorte que la suite h, h', h"y etc. , est rapidement croissante , même en supposant que les nombres u , u , m", etc. , aient l'unité pour limite. Donc les nombres r, r',r", etc., toujours plus grands que 1 , ne pourront être moindres que a, ce qui rendra infinie la valeur de t. Donc l'équation a?+y+ zs = o n'admet aucune solution en nombres entiers (1).

(1) On peut voir dam les Mémoires de l'Académie, année i8a3, quelques autres recherches sur l'équation o=.ar+y-\- x", n étant un nombre premier plus grand que 5.

§ V. Théorèmes d'analyse suivis de formules nouvelles pour les

sections angulaires.

(664) Théorèmb I. n étant un nombre premier quelconque, a excepté, si on fait aT—y' = (x — j)P, P désignant le polynôme x"-'+yx"- '+y*x— ». , on pourra toujours satisfaire à

l'équation

savoir 4P = Q* + n R% si n est de la forme 4 m + 3, et 4 P= Q* — *R\ si « est de la forme 4 »» + i •

Ce théorème a été démontré ci-dessus, n* 5io; on a fait voir de plus quelle est la manière de déterminer dans les deux cas les valeurs des fonctions Q et R ; et quoique les formules auxquelles nous renvoyons supposent y— i, elles s'appliquent sans difficulté à une valeur quelconque de y en observant la loi des homogènes.

(665) Thborbms II. Soit n un nombre premier 4"»-»- i; si l'on frit (/ +gWny=F + Gl/«, ensuite F=/P, G = ngQ, ce qui donne

p =/~h- ^=-,/-î . » f + "•w~1a;^an~3/<"> • » V + etc-

je dis que les polynômes P et Q peuvent en général se mettre sous 4a forme X* — «Y1, de sorte qu'on pourra faire

P=A'— nB', Q=C— /ïD«,

A, B, C, D, étant des polynômes en /et g, du degré a m /dont les .coefficients sont des entiers.