II

37o THEORIE DES NOMBRES.

En effet, si on fait p=J + g\/n, q=f—gVn, on aura

p— mais en vertu du théorème I, la fonction 4 P peut être mise sous la forme X* — «Y', dans laquelle on aura

ap»—p>->q+a,p—>q'+a)p"->qî+ etc. j 4- a />V/ *— 2 -f- a.p1 q—' + etc. j ~F H

Y==( p—q + ^p—q'^b^^+e^. j . j +pqtm- + b,p'q"- + bJpiq'~-i+ etc. J 'P H

Et comme en général pq est rationnel, ainsi que p* + qÂ, k étant un entier quelconque, il s'ensuit que X et Y se réduisent à des polynômes en f et g, homogènes et du degré uni; ces polynômes divisés par a, seront les valeurs de A et B dans l'équation P=A* — nB\ On voit en même temps que la fonction P est composée des deux facteurs réels A + Bl/n, A — Bl//t, qui ne contiennent d'autre irrationnelle que |/7i.

On aura semblablcment Q=^-^~^; mais en faisant p' — q' =

(P — fj) H» le théorème I donne encore 4H=4«Q=X'' — nY'\ et on aura

\+3q"+pq'm-' + a,ptq"-—aip1q—'+ etc. j v

f -pim-'q + Kp"~'î—bip"-iqi + etc. ) . , )m — pq"-'+b,p'q»- ' — »-t-etc. I "V ™ '

valeurs qui se réduiront de même à des polynômes rationnels en y et g. Mais d'après l'équation 4'*Q = X'* — «Y'', il faut que X' soit divisible par n; faisantdonc X'=/iZ', on aura 4Q=«Z'' — Y'". Enfin n étant un nombre premier de la forme {\m 4- i , la fonction Q pourra toujours se réduire à la forme C* — /iD*; il suffit pour ce'a de faire C 4- Dl/n = (i Y'+ jZ'l/n) (f— wl//i), t et u étant les plus petits nombres qui satisfont à l'équation t* — nu* — — i.

(066) TmfoRÈME III. Soit n un nombre premier 4*» +3; *»

SIXIÈME PARTIE. 37i

onfait(/+g-l/— n)"=F+Gl/— n, ensuite F=/P, G = ngQ, ce qui donne

Py- . n./i— i 4-. ■ . . n.n—i.n—2.n — 3 • , • =f —f** ■ nS + OT4 f -n'g>- etc.

=/-' ^3— / + ^374^ -V^.ny-etc.

je dis que les polynômes P et Q pourront être partagés, chacun en deux facteurs rationnels, de sorte qu'on aura