P = AB, Q = CD
A, B, C, D étant des polynômes en y et g, du degré l- (n — 1). En effet, soit p=f+g\/ — n, q—f—gV—n^ on aura...
P =£— , et d'après cette forme on pourra faire 4 P= X' 4- n Y' ,
en supposant
x 2 />-~M —p%mq + atp— q' — a, />•"— ^ -+■ etc. -ha y—*' — pqxm + a,p1q,m-' — a)piq*m-1 -+- etc.
Y ( /''"f— 7' + b> P^~* q3— etc-
I — /? 7'" q*""— p* q—' — etc.
Or les quantités pq et p* -»- étant réelles et rationnelles, la quantité X le sera également. Quant à la valeur de Y , elle est égale au produit de/?— q par le polynôme
z^î»^- W^^Ef^ Vv'^-*
dont la valeur est réelle et rationnelle comme celle de X; donc puisque p — ^ = agV — n, onaura4P=X* — ûn'g'Z'; donc P est égal au produit des deux polynômes [X + ngZ, \ \—ngZ% lesquels seront les valeurs de A et B.
On aura semblablement Q — * > on pourra donc supposer
4»Q=X'" + /* Y'*, et en même temps
37a THÉORIE DES NOMBRES.
| ap"+-'+p"'q-ha,p"-'qt + aip"-'q1+elc. ~ I — iq'"*-' — pq"—a,p'(/'m- — fi>p'<] — '—etc.
~ | -f- />7'" + b,p' 7"- + bipiqtm-> + etc.
La valeur de Y' se réduit à une quantité réelle et rationnelle; quant à la fonction X', elle est le produit âep—q ou -igV—n par le polynôme
V=*.t^=S^+pg.r^^ + etc. ,
dont la valeur est réelle et rationnelle. Donc on aura X/=2#ZV— «, et 4Q=Y'' — 4g",Z''. Donc Q se décompose en deux facteurs rationnels ' Y'+ #7/ , ; - Y — g7,'y qui seront les valeurs de C et D.
(667) Par exemple, dans le cas de «=7, le polynôme
P=/6— 3</V + SnTt— "V se décomposera en deux facteurs, savoir:
Dans le même cas le polynôme
Q=/6— 5/i/V + «'^ se décomposera en deux facteurs, savoir :
C=f>—nfg + nfg> + ng> n=r + nfg+nfg'-ng>.
De même dans le cas de /i= 1 1 , les polynômes
P=/'°— 5#i,/V+ 3o</V— 4a«W+ i5«y»é''~«V" Q=f"—ir->nf>g* + fan'f'g'—5onif*(f-i- 5n*f'g* — n*g",
se décomposeront, le premier en deux facteurs
B =/* — 3 «/«g- + aii'/V— 2 n'f>gs-nlfg* + «Y ,
SIXIÈME PARTIE, le second en deux facteurs
0=/' + npg—ïnPg- itïpg—lrïfg—rïg D=/i—n/tg—2nf3g' + a«'/'^- 3n*fg* + n'tf.
Au reste la similitude qu'il y a entre les fonctions P et Q j>ermettrait de trouver aisément les facteurs de Q au moyen des facteurs de P et réciproquement. Il faudrait pour cela changer ngen fetf en g.
(6G8) Ces théorèmes relatifs aux puissances du degré /i de/+gV«, peuvent s'appliquer aux puissances de cos.* -4-1/— i sin. <p , et il en résultera de nouvelles formules pour les sections angulaires. Nous allons faire voir comment on parvient à celles-ci d'une manière directe.
Par le développement de l'équation (cos. y + V' — isin. ?)" = cos. «9 i sin.»9, on a immédiatement les deux formules
sin./tç ., n.n — i.n — a , . , — s — -=ncos. 9 = — cos. ©si n.»
+ C08' ••«n.'.-et»-.
cos.no .. n.n — t , , ±=cos. o cos. «sin. o
cos.? r i.a
+ rr^4 — cos- * s,n- * — e*-
Or si n est un nombre premier quelconque , je dis que les polynômes formant les seconds membres de ces équations pourront toujours se décomposer en deux facteurs dont les coeffic ients ne contiendront d'autre irrationnelle quel/n. Et parce que ces deux formules se déduisent l'une de l'autre en mettant simplement * — ? à
la place de <p, il suffira de faire voir comment se fait la décomposition de la première; mais pour cela il faut distinguer deux cas, selon que le nombre premier n est de la forme bm + î ou de la forme h m -+- 3.
Premier cas, n=.[\m + i.
(669) Nous avons fait voir que pour les nombres premiers de
cette forme la fonction X = J peut toujours se réduire à la
forme jÇï' — nZ>) composée des deux facteurs réels 7 Y-+- vZ|/«, ; Y — ■J-Zl/'/i , pour lesquels on aura
aï"+ x~~'Y -+- a, xlm~*y* + a, af-V -4- etc. )
} -f- ci jcT >
+27-+ arjr*— ' + a.xy- -4- — '+ etc. ) " *
Nous avons donné d'ailleurs les moyens de déterminer dans tous les cas les coefficients a,, «,. . .a„, btybz. . Cela posé soit a: = cos. 9 -+- 1/ — 1 sin. 9 , y= cos. 9 — l/— 1 sin. 9 ,
on aura X=a"~'r^ ==s'n,"9 et les valeurs de 7 Y et TZ seront x — y sin. 9
\ Y = a cos. a m 9 + cos. (2 m — a) 9 + a, cos. (a m — 4) 9
-+- a, cos. (a m — 6)9. ..-¥\am ; Z= cos.(a#rc — 2)9 + £,cos.(am — 4)? + *jCOs. (am— 6)9
+ bt cos. (2 m —8)9 ... +
Faisant donc A= fY + TZV/«, B=;Y— \Z\Sn, ce qui donne
A= a cos.am 9 -+- ( 1 +1/ «)cos.(2/w— 2)9 + [a% + bt\/n) cos.(am — 4)9 + (a, + £,lV/i)cos.(2/w— 6)9 . . . +- 7 («- + *-iVn)
B= acos. ïm?+(i -»V«)cos.(2 m —2)9+ (a,— 6,|/«)cos. (am— 4)9 + (flj— *ilV/i)cos. (3/71 — 6)9. . . + { (a.— bm\/n),
on aura en général -j^f— = AB , de sorte que A et B seront les deux facteurs dont le produit est égal au polynôme
„ co8..- f cos.-J 9 sin.' 9
» 3-"-4cos/-, sin/<?etc 1. a. 3. 4-5
propriété d'autant plus remarquable qu'elle n'aurait pas lieu si le nombre n de forme km -+- 1 n'était pas un nombre premier.
Pour avoir semblablement la valeur de — — -, il suffît de mettre
cos. 9 1
71c — 9 à la place de 9 dans les formules précédentes. Soit donc
C= a cos.a /W9 — ( 1 |/«) cos.(a m — a) 9 + (a, bt \/rC) cos.(a m —4) 9 — (a, + 6,l//t)cos.(am — 6)9. . .-+- \ (a„ + 6,l/*)( — if
D= a cos.a m 9 — ( 1 — l/«)cos.(am — 3)9+ (a, — &,l//i)cos.(am — 4)9 — («»— £,l//i)cos.(a/n— 6)9. . .4-T(a. — i.l/n) (— 1)-,
et on aura cos ^=CD. desortequeGet D seront les deux facteurs co». 9 *
dont le produit est égal au polynôme
cos.— 9— cos.-1 9 sin.'9-f- "'""â'^'""3 cos"~S ? sin- V — etc-
(fiyo) Si on fait "°^ = o, ou AB=o, les valeurs de 9 qui satisfont à cette équation «ont en général 9=~, * étant un entier
quelconque non-divisible par n; car cette valeur rend sin. «9=0, sans qu'on ait en même temps sin. 9=0. Soit cot. 9=3, ! équation AB = o deviendra
. . b./i— 1 .n— 2 i.w— 1...JI— 4 . t
°=nz r.,;3- ^ + K.a...5 z ~etc-
et les « — 1 racines de cette équation seront
z=±( cot. -, cot. — , cot. — ...cot. )•
H s'agit maintenant de faire voir comment ces/i — 1 racines se partagent entre les deux équations A = o , B= o. Pour cela il faut reprendre la valeur
a b =^7 = + +sr~3y • • •
Or on sait que ce polynôme du degré n — i ou 4 m est le produit des 4 m facteurs
(x — r y) {x — r'y) (x — rJ y) . . . (x — r*my) ,
dans lesquels on peut supposer r=cos.— -\-\/ — i sin.— , et si on
désigne par g Tune des racines primitives de les mêmes facteurs pourront être rangés dans l'ordre suivant :
x —y ^cos. — -h l/— i sin. — J x,(cos.^ + |/-isin.^) x— y{ cos.-^— — i sin.-^— )
cos. — + 1/— i sin. * n
Il résulte encore de la théorie déjà exposée que le produit de ces 4 facteurs, désigné par -'(Y' — nZ') se partage en deux groupes de a m facteurs chacun, l'un composé des termes de rang impair, savoir :
x — y f cos. -jj- +1/ — i sm.— J
cos.-^ h \/ — i sin.-~-J
cos.-^p- H- \/ — i sin. )
l'autre composé de termes de rang pair, savoir :
SIXIEME PARTIE. ^77 x —y (cos. -h l/— 1 sin. ïlp) x — j (cos. ^j-î + 1/ — 1 sin.
— y f cos. -+- V/— 1 sin. -s—J
x — y( cos. -2-^ 1- K — 1 sin. — V
Ces groupes de a m facteurs sont les valeurs de A et B; mais ce ne sera que dans les cas particuliers qu'on pourra décider lequel des deux est égal à A , l'autre étant égal à B.
(671) Soit x — ^(cos.aa + \/ — 1 sin. a a) l'un des facteurs simples compris dans le groupe qui représente la valeur de A ; puisqu'en rejetant les multiples de n, on a g""= — 1 , chaque valeur
de a«=^-^, où k est moindre que 2m, sera accompagnée dans
le même groupe d'une valeur-^ — = — 2a, de sorte qu'on aura
à la fois les deux facteurs simples
x — y (cos. a« + \/ — 1 sin. a a) x — y (cos. 2 a. — 1/ — 1 sin. 2 a) ,
d'où résulte le facteur réel du second ordre
x' +yM — 2 a^-cos. 2 a.
Suhstituan t les valeurs x = cos.<p -\-\/— 1 sin.<p, y= cos.<j>— V — 1 sin. 9, ce facteur devient
2 cos. a? — 2 cos. 2 a.
Donc en faisant 2 cos. 2 <p = t , l'un des facteurs A et B sera exprimé par le produit de m facteurs simples
(,aCos.î?) (f-acos (*-acos.^). . .(,acos.ii£p!) II. 48
et l'autre le sera par le produit
((aco,Mî)(,aco,^) (<-aco,^). . .(,aeo8.^)-
Ces formes s'accordent très-bien avec les valeurs trouvées ci-dessus pour A et B; car en substituant pour cos. 4? , cos. 6^> , etc. leurs valeurs connues en fonctions de cos.aç = t*, la valeur de A se réduira à la forme
A = r + « r- + e tr - + etc. ,
dont les coefficients ne contiennent d'autre irrationnelle que \/n; il en est de même de la valeur de B.
Les équations A =o , B = o, ayant en général toutes leurs racines réelles , comprises dans les deux suites
f=COS. , COS. — , COS. — . . .COS.—
f=COS.-^-,COS.-^— , COS. -2—. . .cos.-£- ,
on connaîtra pour chaque suite la somme des puissances de même degré des différents termes qui la composent, laquelle sera exprimée par les coefficients de l'équation correspondante, et ne contiendra par conséquent d'autre irrationnelle que l/n. C'est en cela que consistent les nouvelles formules relatives aux sections angulaires que nous avons annoncées dans le titre de ce paragraphe, et «fui ne sont pas comprises parmi les formules connues.
De semblables résultats s'appliquent aux fonctions C et D dont
le produit est égal à mais les formules qu'on en déduit pour
les sections angulaires, ne différent pas de celles qui sont données par les fonctions A et B. Voici quelques applications de ces formules.
Exemple I.
(67a) Soit n— i3, ou aura m = 3; dans ce cas les valeurs de Y
et de Z prises dans le tableau de l'art. 5 1 a , donnent «, = 4 , o} = — i , b, =o , b> — i ; d'où résultent les valeurs
A=acos.6<p-*-(i -hV/i3)cos.49 + 4cos.aç — 7 + |l/i3 ' B=acos.6<ç> + (i — V/i3)cos.49 + 4COS.29 — \ — îl/i3.
Faisant 2003.29=*, on aura
A = ti + ±(i + l/i3)<'-f— {— il/i3 B=^+;(i— i/i3)r— A + ii/i3.
Ensuite si l'on prend la racine primitive £=2, on devra supposer
A = (t — 2COS. (t 2 COS. ^) Q 2COS.~^
car de cette manière le dernier terme du premier produit, savoir: — 2,cos.^cos.^?cos.^ est négatif et pourra être égalé au dernier terme de A, savoir: — -f — \ l/i3. En même temps le dernier terme du second produit, savoir : — a'cos.— cos. — eos. —, sera po-
tt /1 n
sitif et égal à — £ ïl/i3, dernier terme de B.
De là on voit l'que s'il s'agit de diviser la circonférence en i3 parties égales, le problème pourra être résolu soit au moyen de l'équation
0=^—1(1/13— i)r—* — i + il/i3,
• . 1 air 5* 61c
dont les trois racines sont f=2cos.^, f=— acos.^j, f =acos. j^,
soit au moyen de l'équation
0=*' + j(Wi3 + i)r— t— i-ji/,3,
dont les racines sont f=acos. / = — acos. t = — acos. •
a* Que les racines de ces équations, élevées successivement aux
puissances 1 , a, 3, etc. , donnent les formules
38o THÉORIE DES NOMBRES.
2TC 5lT OIT , /. j n \
cos'73"~cos-73 + cos- 73= H^*3— 0 C08.'^+ cos.'5| + cos.'^= \ ( 1 1 -Wi3)
cos.^-cos.J^ + cos.Jg= i(l/i3-i) etc.
cos.j^ — — cos- — — H^1^ "^ 0 cos.'^+ cos.*^ + cos.'^= \{\ i-H/13)
cos.J^-cos.î^~cos.î^=-KW/'i3+ 0 etc.
Exemple II.
(673) Soit n=\y, m=4; les valeurs de Y et Z, prises dans le tableau du n* 5ia, donnent pour ce cas «, = 5, «j = 7, i4=4» 1 , b,= 1 , &4=a, d'où résultent les valeurs
A = acos.8ç + (i +|/i7)cos.6ç + (5 + »/i7)cos.4?
■+■ (7 -+-l/i7)cos.2 9 + a +I/17 B =2 cos. 89 + ( 1 —V/i 7) cos. 69 + (5 — V 1 7) cos. 4?
au moyen desquelles on aura sin. i79 = ABsin.9.
Si l'on fait a cos. 2 9= t, les valeurs de A et B deviennent
A^' + ïCi-H/^K+KV/ïJ— 3)r+(a-l/i7)'-' B^ + tCi-^K— {(I/17 + 3)r+(a+V/i7)'-»-
Dans ce même cas on pourra supposer g= 3, ce cpii donnera
A = (<-*co,.6T*)(<- (*——^)('— --40
B=(/-acos.^) (<-*«,»•£) («-»««.!!) (»-»«-.*=)•
Soit x le côté du polygone de 17 côté», on aura x-=a— acos.";
ainsi ce côté se déterminera par la plus grande racine positive de l'équation du 4e degré B=o; d'ailleurs on sait par la théorie précédente que cette équation peut se décomposer en deux équations du second degré.
Comparant les racines des équations A = o, B = o, avec leurs coefficients, on en déduira les formules suivantes:
cos. + cos. - -4- cos. — — COS. - = i iy 1 7 — I )
Y — j ax"*+" +x""y + o-^-'y + aiX^-'y3 + etc. — j — aj*-^'— xj-— a,«*y—' — a,^—'— etc.
~~ \ + *y- 4- bts?jr- + hx'y—* -+- etc. Soit x=cos.ç + l/— i sin.f ,^=cos.?— \/— isin.?, on aura
Second cas. /* = 4 -♦- 3.
38a THÉORIE DES NOMBRES.
y=asin.(am-*-i)9-*-sin.(am — 1)9 + a, sin. (a m — 3)ç
