ûjsin.(am — 5)9 + etc
vZ=cos. (am — 1)9 +- £,cos.(am — 3)9 -+- 63cos.(am — 5)9 + etc.
Soit donc
A= asin.(am-w)9-4-sin.(am — 1)9 4- a, sin. (a m — 3)9
-+- as sin.(am — 5) 9 + etc.
H- \/n [cos.(a m — 1 ) 9 + b, cos. (am — 3) 9 -f- b, cos. (a m — 5)9 + etc.]
B= — a sin. (am 4-1)9 — sin.(am — 1)9 — a, sin. (2 m — 3)9 — aj sin. (a m — 5) 9 — etc.
+ \/n [cos.(am — 1 ) 9 •¥ bx cos. (am — 3) 9 + b , cos.(am — 5) 9 + etc.]
et on aura en général = AB.
w un. 9
Si l'on met* — 9 à la place de 9, on aura un second système de formules, savoir:
C= acos.(am-i- 1)9 — cos.(am— 1)9 + a,cos. (am— 3)9
— a, cos. (a m — 5)9 + etc.
-4-l/n [sin. (am — 1)9 — b, sin.(am — 3)9 +£,sin.(am — 5)9— etc.]
D= — acos.(am + 1)9 -»-cos.(am — 1)9 — a,cos.(am — 3)9
+ o, cos. (2 m — 5) 9 — etc.
+l/n[sin.(am— 1)9— 6,sin.(am— 3)9+*jsin.(am— 5)9+etc]
cos1n£CD cos. 9
Maintenant pour trouver une autre expression des deux facteurs de X = '^"^ , appelons de nouveau g une racine primitive de n et soit r* une racine quelconque imaginaire de l'équation r" — 1=0, en sorte qu'on ait r*=cos.^-l-l/ — 1 sin.^p, A étant
l'un des termes de la série ijg>g\gs- -g*"*" i la fonction X sera égale au produit de tous les facteurs x—yrk dans lesquels on donnera successivement à k les n — 1 valeurs précédentes, lesquelles
représentent dans un autre ordre la suite des nombres naturels i,a,3.. i.
Cela posé si on substitue les valeurs x=cos.<p + \/ — i sin. 9 , y = cos. 9 — 1/ — i sin . 9, le facteur x — r*y, dans lequel r* = cos. — +1/ — i sin. deviendra (i — r*) (cos. 9 — sin.çcot.^) , ou en faisant cot. 9 = uf
( 1 — r*) sin. 9 (u — cot. ^) •
Prenons successivement pour k les a m + 1 valeurs 1 , .
et appelons a le produit correspondant de tous les coefficients
1 — r*, nous aurons pour l'un des deux facteurs deX, l'expression
P=a(sin.ç)*,"+,(«— cot.^-)(a~cot.^)(w— cot^). . .(«— cot.^).
De même en donnant à k les valeurs successives g, gifgi" ♦#*""*"> et appelant S le produit correspondant des coefficients 1 — r', on aura pour l'autre facteur de X l'expression
Q=€(sin.ç)a"+,(«— cot.^)(« — cot.^)(« — cot.^-). ..(u — cot.**^*")
et parce qu'en rejetant les multiples de n dans les valeurs g^g^etc., on a g"^*"= — 1 et par suite g— = — — ^»*^ il s'ensuit que la valeur de Q peut encore s'exprimer ainsi :
Q=e(sin.ç)a",+,(« + cot.^) (« + cotîf ) (u + cot.ï£) (u + cot.^) ,
c'est-à-dire que les racines de l'équation Q= o ne diffèrent que par le signe des racines de l'équation P = o, ou que l'une de ces équations se déduit de l'autre en changeant seulement le signe de u.
Tels sont les deux facteurs dont le produit PQ=X, et comme dans le cas de 9= o , qui donne x= 1 e\y= 1 ,on doit avoir X=n,
il s'ensuit qu'on aura «6=*, et qu'ainsi on pourra supposer
C'est aussi ce qu'on déduirait des valeurs de A et B ; car en (àisant f = o, on a A = B = | Z° Vn , Z° étant la valeur de Z dans le cas de ? = o. Mais dans le même cas on a X=/t, Y=o, et l'équation 4X = Y*+/iZ' donneZ'=2, d'où résulte A = B= Vn>
(675) Les valeurs trouvées pour P et Q représentent celles des fonctions A et B que nous avons exprimées d une manière linéaire par les sinus et cosinus des multiples impairs de l'angle 9; mais ce n'est que dans les cas particuliers qu'on pourra décider Inquelle de ces deux valeurs doit être prise pour A et l'autre pour B. Cela sera toujours facile en égalant à P celle des valeurs de A et B dont le dernier terme est de même signe que — cot*cot.^£-cot^-. . .cot.^^.
Soit en général (u ✓ — i)B= F(a)+l/ — 1 G(a), ce qui donne
F (a) = a- ^—-i 1*— « + i.a.3',4 lua~K — etc-
Si au moyen des fonctions F (a), G (a), on détermine de nouvelles fonctions U et V , telles que
V = 1 ) F (2m — 1 )+ bt(W + 1 )• F (2 m— 3) + bt(u' + 1 )3 F(am— 5) +etc. V=aG(2m+i)+(B'+i)G(am- i)+«,(«(,+ i)'G(am- 3) + etc.,
la première étant une fonction impaire de u, du degré \(n — 1), ou 2 m 4- 1, dont le premier terme est a"**", et la seconde une fonction paire du degré 2 m , on aura les valeurs
A==sin.»^'ç(UV//i-i-V) B=sin.~+"?(UK«— V).
Mais suivant l'art. 669 la valeur de AB est égale au produit de sin.—'f ou sin.4~*°<p par le polynôme
donc le polynôme en u du degré n — i peut en général se décomposer en deux facteurs Ul/Vi + V, Ul/w — V, dont l'un sera représenté par le produit
„ i (*-cot.*) (w col.î£) (u-cotSf!) . . . («-cot^) ,
et l'autre par le produit
n * (u + cot.^Q Çu + cot.^) (« -h cot.^) . . . (u -f- cot.^) •
Si l'on veut diviser la circonférence en n parties , on aura à résoudre l'équation U Vn dr V = o du degré am + i et dont les racines sont, en déterminant convenablement le signe ambigu,
U = cot. - , COt. -2-, COt. . . . COt. -2
On pourrait résoudre directement la même question^ par l'équation G(/i) = o, laquelle en faisant u' = v, devient
o // v'~+-' 5 — vim H * vim~' — etc.
de sorte qu'elle est aussi du degré a m -4- 1 ; mais l'équation en u est plus simple, et ses racines, connues a priori, donnent lieu à de nouvelles propriétés , comme on va le voir dans les exemples suivants :
(676) Exemple I. Soit n — 7 ou m— i , on aura par le tableau du n" 5ia, «,=0, b, = o, ce qui donne
sin. 79= A Bsin.<p
A =/ïtcos.ç -+- a sin. 3 ç -♦- sin. 9
B = n7cos.<p — a sin. 3ç — sin. 9.
Faisant ensuite cot. 9= u, on aura
V = aG(3) + (a'+i)G(i)=7«'-i
A = sin.,9(nTU+ V)
B = sin.J9(^U — V).
Donc sin.79 = (sîn.(p)7(«T U+V)(/i" U — V) ; mais on a aussi directement sin. 7<p= (sin.9):G(«), en désignant par G(n) le polynôme
nub— ônut + Snu* — i.
Donc ce polynôme est le produit des deux facteurs
il f
ee qui est facile à vérifier.
Dans ce même cas on peut faire ^=3, ce qui donne cot.^p
= cot.— , cot.£-^=cot.— = — cot.— Dès lors il est facile de voir n n n n
qu'on aura les deux équations
n 7 wJ — n u' -+- n~u +\ = n 7 Qt — cot. Çti — cot. ^ Çu ■+ cot. n7ià + nu'+n hi — i =/i7^« + eot.*^ ^« -f- cot^Q Çu — cot.^)
qui se déduisent l une de l'autre en changeant simplement le signe de u.
La division de la circonférence en 7 parties égales se fera donc au moyen de l'équation du troisième degré :
dont les racines sont « = cot.-, //=cot. —, u— — cot. — , et il en
résulte les propriétés suivantes :
cot. * + cot. — - cot. - = 7 ; 7 7 7 7
cot.1- + cot.'— + cot.'— = 5
cot. -cot. — cot. — =7 , 7 7 7 '
qu'il est facile de vériBer par le calcul trigonométrique.
(677) Exemple//. Soit a=ii ou w = a, on aura suivant le tableau du n° 5ia, = — a, A, =0, ee qui donne
U = (a*+i)F(3) = ai— a«J — 3«
V=aG(5) + (M'+.)G(3)-a(«'+[)'G(i)=««^2„w- , sin. 11 ç = (sin.?)"(U|/7i+V)(Uv/w-V).
Mais on a aussi sin. 1 1 9=(sin.?)"G(«), en désignant par G(«) le polynôme
nu'*— i5/.w' -»-42/itt6— 3o/jm4+ 5nu' - 1. Donc ee polynôme est le produit des deux facteurs
M = /i'us + nu* — 2/1 'f*5— a. nu1 — 3n^u 1
ce qui donnera sin. 1 1 9 =(sin.?)*' M N.
Dans ce cas on peut supposer la racine primitive g= a , puisque cette valeur donne g3 + 1 =oit (1 1); ainsi l'une des équations M = o,
N = o , aura les cinq racines u = cot. ^ cot. ^, cot. — , cot. ^ , 3 " ^ w n *
cot. — , dont quatre sont positives et la cinquième négative. Or la
succession des signes de l'équation N = o , fait voir que c'est à cette équation que se rapporte la propriété dont il s'agit; donc on aura en général
N=„T(o C0t .7)(B cot .£)(«-«,. .£) (u+ cotîj!) («-cot.^) M = «T(„ + cot.^(„ + cot .£)(B + cot .^)(tt c„, .£)(B + C0,.iï).
Ainsi pour diviser la circonférence en 1 1 partie» égale», il faudra résoudre l'équation
dont les racines sont W=cot.? « = cot~, ««eot.^, M=CCot ~
«= — cot—*; on en déduit les propriétés suivantes :
ir 3w . 4* .Sir ^ air i
cot. 1- eot. h cot. — 4- cot eot. — = 1 1 »
ii ii ii ii ii
cot.'^- + cot.' - + eot*^ + cot'^ + cof-= 1 5 ii ii ii ii ii
cot.J-+ cot.1- + cot^ + cot.3-— COt.J- = I 1 • II II II 11 II
. . . 3lt . i Ait . , 5lt . , air ,
cot.4 — l- cot* — h cot.4— + cot.4 h cot.4— = i4i
