II II II II II

« a* . 3« . 4* t 5* — cot. — cot. — cot. — cot. — cot. — = I I II II II II II

Au reste la somme des puissances de degré pair se tirerait plus simplement de l'équation G(n) — o qui dans ce cas est

Elle donne immédiatement ful= i5,/7/4= i4i f 5J5 , etc.

(678) Exemple III. Soit /*= 19 ou m =4, on aura suivant le tableau du n'512, a,=— 4, «i = 3,a4 = 5,/>,=o, &j= — 1,^=1, ce qui donne

A = \/n [cos. 79 — cos. 3 ç -4- cos. 9]

+ asin.99-t-sin.79 — 4sin.59+ 3sin.39+ 5sin-9

B = \/n [cos. 79 — cos. 39 + cos. 9]

— asin.99 — sin.79 -i-4sin.59 — 3 sin. 39 — 5sin>9 sin. n 9 = A B sin. 9.

On aura aussi sous une autre forme sin./i9=(sin.9)*(Ul/« + V)

U = (a* +1 ) F (7) — («' + 1 y F (3) + («» + 1 )• F ( 1 ) V=aG(9)4-(tf'+i)G(7)— 4(tt,+ i)'G(5)-i-3(a,4-i)iG(3)

ou en faisant les substitutions ,

SIXIÈME PARTIE. 38g

\} = u? — iGtt' + aGi^ + ^u' — 3« \ — nu* — 8/îm* -f- \8nià — r.

On connaît donc en fonction de u, les deux facteurs Ul//»+V, Ul//i — V, dont le produit est égal à ^"n"J0 ou à la fonction

G (n) = n m'*— 5 inu"+ 6 1 a n u'*— a65a n u" + 486a n u«° — 3978 n u* 4- 1 4a8 n u' — ao4 n m* + 9 n «' — 1 .

Dan» le même cas on peut supposer g= a, ce qui donne les neuf racines de lequation o = Ul/«=fcV, savoir :

w=cot.-, cot — , cot—, cot—, cot.Z^, cot.^, — cot.^,

— COt—, — COt. — ,

dont six sont positives et trois négatives. Par cette raison le dernier terme de l'équation devra être positif; cette équation sera donc Ul/n— V = o, ou

o = n^(w»— i6«î-i-a6Mi+4o«î— 3w)— n{u%— Su6+i8u*) + i , et le second membre sera le produit de nT par les neuf facteurs

(«- cot.?) («-«*.£) («cot.£)(«-cot£) («-«*.£) («-cot. £) (« + cot?) (11 + «*.£) («-cot^) ;

c'est donc cette équation du 9e degré qu'on aurait à résoudre immédiatement pour diviser la circonférence en 1 9 parties égales; mais on a vu ci-dessus les moyens de réduire la difficulté à deux équations du 3e degré. Au reste cette équation donnerait, entre ses racines , des relations semblables à celles qu'on a vues dans d'autres exemples, mais elles deviennent moins intéressantes à mesure que le nombre n devient plus grand.

3oo THÉORIE DES NOMBRES.

Nous avons suffisamment développé les propriétés de la fonction égale à ".^'■■^> ; on pourrait développer sembiablement celles de la fonction égale à mais comme celle-ci résulte de la première

en mettant simplement ~ — <f à la place de 9, nous n'avons pas cru devoir entrer dans de nouveaux détails à ce sujet.

SIXIÈME PARTIE. 39i

§ VI. Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers.

(679) SoiT/?ouam-M un nombre premier quelconque, a excepté; soit g Tune des racines primitives qui répondent à ce nombre, de sorte qu'on ait gm+ 1 =3tt(/>); nous avons vu dans l'art. 609, que

les ara racines de l'équation X = o, où X = , peuvent être représentées par la suite

dont chaque terme («) est l'expression de r*, r étant une racine

imaginaire quelconque de l'équation xp — 1 =0.

Soit^ la somme des termes de rang impair et z celle des termes de rang pair, en sorte qu'on ait

* = te) + te') + (ér4) + te7) + (r~) ;

on a trouvé dans l'art, cité deux formules pour déterminer y et 2, l'une qui suppose p de la forme f\i+ 1 , l'autre qui le suppose de la forme 4' + 3; ces deux formules s'appliquent aisément aux deux cas en leur donnant la forme suivante :

Z=r-|q:il/[/;(-l)^]"

Le signe ambigu qui s'y trouve dépend de la racine r qui peut être prise à volonté parmi toutes les racines de l'équation X = o; mais

3çp THÉORIE DES NOMBRES.

cette ambiguïté n'a aucune influence sur le résultat que nous allons

exposer.

Appelons P la différence .y — z ainsi exprimée nous aurons

(680) Soit maintenant q un nombre premier quelconque, différent de p, et supposons qu'on veuille élever le polynôme P à la puissance q. Cette puissance contiendra d'abord les puissances q des différents termes du polynôme P pris séparément; et comme la

puissance q du terme («) ou ra est r?" ou (qa)> on aura une première partie

Q=(*)-fo*) -(7*0. • • + for— )-(**—■).

Elle contiendra ensuite un grand nombre de produits partiels qui seront tous de la forme q Arx, A étant un nombre entier et x un exposant aussi entier qui pourra être supposé moindre que p , puisqu'on a rP—i.

Désignons par 2(q A rx) la somme de tous ces termes , tant positifs que négatifs , nous aurons l'équation

P*=:Q + 2(qAr*).

Maintenant , quel que soit le nombre premier q différent dep, on

aura nécessairement (*)= » ou (?) = — 1 ; dans Je premier cas

q serait ce qu'on appelle un résidu carré dep, et on pourrait supposer q=g"; dans le second q serait un non-résidu et on aurait q—g^~\ valeurs qui ont lieu en négligeant les multiples de p.

(681) Soit i* (J)= 1 ou q—g", l'exposant %n étant toujours compris dans la suite o, a, f\ , 6. . .im — a, on aura

Q=(r)-^^,)+(^)- • — (*— )+(«)-&)+<*'). • -Hr").

quantité dont les termes forment une suite rentrante sur elle-même où l'on pourra prendre ( i ) pour premier terme et qui se réduira ainsi à (0 — te) + • •— (g"*~')> de sorte qu'on aura Q=P. Soit a° ( = — i , ou q=g"~' , on aura

Q=(^,)-(r)+(rM-)- • • +ùr")-(i)+(ér)-r • • — fr-o.

ou Q=P.

Donc on a dans les deux cas Q=^-JP, cequi donne l'équation générale

P7=(?)P + ?2(Ar*)

ou

*-.(i)=,.ss*a.

Substituant dans le premier membre la valeur de P, il se réduit à

quantité toujours égale à un nombre entier.Quant au second membre y.Z^pr \ il devra donc aussi se réduire à un nombre entier; et

comme l'irrationnelle P=±V/[/>( — i) » ] n'est pas divisible

par q, il faudra que^—1 se réduise généralement à un entier A', de sorte qu'on aura

Supprimant de part et d'autre les multiples de q , ce qui réduit p~*~ à l'expression . on aura enfin l'équation

dans laquelle consiste la loi de réciprocité entre les deux nombres premiers p et q.