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Section I. Méthodes nouvelles pour la résolution approchée des

équations numérûpws.

INous nous proposons de taire voir comment on peut trouver, avec tel degré d'approximation qu'on voudra, les racines réelles d'une équation proposée , sans qu'on ait aucune connaissance préliminaire de la grandeur et du nombre de ces racines. Les méthodes que nous donnerons pour cet objet , ne supposent que des préparations qui tiennent à la nature de ces méthodes, et peuvent s'appliquer directement à toute équation proposée. La première exige cependant qu'on connaisse une limite sti|>érieure à la plus grande des racines; la recherche de cette limite est donc le premier objet dont nous allons nous occuper.

Limites des Racines réelles.

,V) Il suffira de chercher là limite des racines positives; car en mettant — x à la place de x, ou changeant les signes des termes de rang pair, les racines qui étaient négatives deviendront |>ositives à leur tour; de sorte que la règle trouvée pour les racines positives, s'appliquera également , mutath mutandis , aux racines négatives.

Soit l'équation proposée du degré n ,

x* rb A, a?-' db A, x"~' =fc A,.*'^3 zt A, — o ,

dans laquelle i est le coefficient du premier terme, et A, est le coefficient du terme a fiée té de- la puissance x"-'; pour avoir la limite supérieure des racines réelles et positives, il faut distinguer deux cas.

r Si le second terme a un coefficient négatif qui ne soit surpassé par aucun des autres coefficients négatifs; je dis que ce coefficient,

Oo.

.augmenté d'une unité, sera plus grand que la plus grande racine positive.

En effet , si une valeur positive de af pouvait être plus grande que 1 + A,, ce serait dans le cas où tous les coefficients seraient négatifs et égaux à A,, en sorte que 1 équation à résoudre fut

x* ~~ A., ce" ■— — A,jj" 1 — A,j?" .... . A, — o.

Mais dans ce cas même, si l'on fait x = 1 ■+- A,, on aura ar" — A,zT~'

= x"-\aT" — A , 1 = , etc. , de sorte que le premier membre

se réduit à + 1 ; donc on a toujours x< 1 + A,.

a" Si le plus grand coefficient négatif n'est pas celui du second

terme, soient A, et A,, les deux coefficients négatifs pour lesquels à

|/A, et V/Ai sont les plus grands possibles; je dis qu'on aura tou-

* i jours x < l/A. 4- l/A4.

En effet, soit a le plus grand de ces deux radicaux , et b l'autre; il n'y aura, par hypothèse, qu'un seul terme négatif de l'équation représenté par — a'V"~'; tous les autres qu'on peut représenter généralement par — c'a*-\ seront tels qu'on a c—b pour l'un au moins de ces termes , et c < b pour tous les autres. Donc l'hypothèse qui rend x le plus grand est celle où l'équation à résoudre serait

x*—bx-'-b'x~~ù,x-s — b'

—x—'(ar—b')

Le premier membre se réduit à x* — x^'(a' — b') — et si l'on fait x = a + b, il devient

quantité toujours positive, puisqu'on suppose a >£, et qu'on a en gênerai (a -+- b)' > a ( a y j . Donc la plus grande racine positive

de l'équation proposée est plus petite que a + b, ou <l/A, -4-l/A4. Si l'équation proposée n'avait qu'un seul terme négatif — A,*""',

la limite de x serait simplement l/A,, ce qui peut se vérifier immédiatement.

Définition des fonctions omales.

(a) Nous appellerons fonction omale de x, toute fonction qui a la propriété d'être toujours croissante ou toujours décroissante à mesure que x augmente dans le sens positif, depuis x=o jusqu'à x = oo .

Nous supposerons toujours x positif, et cependant la fonction omale, considérée comme l'ordonnée d'une courbe, pourrait être positive dans une partie de la ligne des abscisses, et négative dans l'autre ; mais nous ne considérerons que les fonctions omales qui demeurent constamment positives pour toute valeur de x , depuis x = o jusqu'à x = ao .

il suit de notre définition, que pour toute fonction omale <p(x),

le coefficient différentiel -j^p est toujours de même signe, depuis

x =0 jusqu'à x = qo . Il sera positif pour les fonctions omales croissantes, et négatif pour les fonctions omales décroissantes.

(3) On peut donner, comme exemples des fonctions omales, les valeurs suivantes de ?(x), dans lesquelles nous supposons tous les coefficients positifs,

?(x) = Ax- + Bx~ + Cx— + K,

. N Ax- + Bjc— + C«— + K

+ - + ? + etc.

La première et la seconde sont croissantes, l'une depuis f (o)=K jusqu'à y ( qo ) =00 , l'autre depuis <p(o) = o jusqu'à ç( 00) =00 ; la