ABC

troisième décroit continuellement depuis 9(0)= 1 -1- - + ^ -+- - jusqu'à ?(oo)=i.

Si on trace la courbe qui a pour équation y = ç (x), cette courbe montera ou descendra graduellement, depuis la première ordonnée ç(o) jusqu'à la dernière <?(*>)> en sorte que la même ordonnée ne pourra jamais répondre à deux abscisses différentes.

Douer étant un nombre positif donné compris entre <p(o) et ç(ao ), l'équation c =?(.*) aura toujours une racine positive, mais elle n'en pourra avoir qu'une.

Si a n'était pas compris entre les limites ?(o) et ? ( 00 ), l'équation c = y(x) n'aurait aucune racine positive%

Résolution de l'Équation ornale c = ç(x).

(4) Imaginons qu'on décrive la courbe dont l'équation est y=<f(x), et supposons d'abord que la fonction f(x) soit croissante, et qu'en même temps la courbe soit concave vers l'axe. Pig. 1. Soit A le premier point de cette courbe, où l'on a x — o,y=y(o); à l;i distance < de l'axe des x menons la droite CM parallèle à cet axe, laquelle rencontre en C l'ordonnée prolongée du point A, et en M la courbe A M; il faut déterminer l'abscisse du point M qui sera la valeur de la racine cherchée.

Pour cela, menons eu A la tangente Ak, qui rencontre en k la droite CM, et appelons k l'abscisse du point nous aurons en

supposant d-~j^ = 9' (J-O ,

Par le point A menons une perpendiculaire h Ck, qui rencontre la courbe en au point n menons la tangente nk\ qui rencontre en /•' la droite CM ; si on appelle l'abscisse du point k', on aura de nouveau

Déterminant de même k" par l'équation

et ainsi de suite, il est évident que la limite vers laquelle convergent les termes de la série croissante k , k', k"t etc. sera la valeur cherchée de x.

On voit donc que pour résoudre l'équation omale e=f (jr), il faudra calculer successivement les quantités k, k' y k'\ etc. d'après les formules

etc.

et la dernière des quantités k , k", etc., ou la limite vers laquelle elles tendent, sera la valeur de x.

(5) Il est bon de remarquer, l'que les premiers termes de la suite k, k\ k'\ etc. n'ont pas besoin detre calculés très-exactement; ce n'est que lorsqu'on est parvenu à deux termes peu différents l'un de l'autre, qu'il importe de continuer le calcul avec toute la précision qu'on veut obtenir dans le résultat.

20 Que si on sait d'avance que x doit être > k, alors il faudra supprimer la première des équations de l'article précèdent, et partir de la valeur donnée k pour déterminer toutes les autres k\ k", etc., ce qui abrégera le calcul.

(6) Supposons maintenant que 9 (x) soit une fonction décroissante, 1 telle cependant qu'on ait 9(0) égale à une quantité finie; alors la construction se fera comme elle est indiquée dans la figure 2 ; et parce que ?(x) devient négatif dans ce cas, les formules pour calculer successivement ktk'i k", etc. devront être écrites comme il suit :

etc.

4oo APPENDICE.

On fera d'ailleurs , pour ce cas , les mêmes observations que dans l'article précédent.

Un troisième cas à considérer est celui où la fonction y(x) est décroissante, mais telle qu'à l'origine des x, on ait ç(o)=oo . Dans ce cas, il faut qu'en supposant x infiniment petit, la valeur de f{x) se réduise à la forme Ax~~ + etc. On aura donc A x~" < c; et par

conséquent x>\/-. Cela posé, il faut prendre k = 1/ (-J , et partir de la première valeur x=k pour calculer ensuite les termes k\ k", etc. par les formules de l'article précédent. La limite de ces termes sera la valeur cherchée de x.

Il peut y avoir d'autres cas que ceux qui sont représentés par les figures i et a; nous les examinerons ci-après, article yS.

Méthode pour avoir la plus grande Racine positive d'une équation

proposée.

(7) Pour écarter toute difficulté étrangère à notre objet, nous supposerons constamment que l'équation proposée n'a point de racines égales, et qu'elle n'est point divisible par x. Cela posé, on commencera par déterminer la limite supérieure des racines positives, comme il a été dit dans l'article 1. Soit a cette limite; on aura donc la racine cherchée x < a.

Si on fait passer dans le second membre de l'équation proposée tous les termes négatifs , cette équation prendra la forme suivante :

x"Çi jr -+- etc.) =a.r*-i + bx—*"' + ex"*-' + etc.,

où tous les coefficients sont positifs et où il faut observer que les deux polynômes ne peuvent être complets , sans quoi la même puissance de x se trouverait à-la-fois dans les deux membres. Cela posé, si l'on fait

SECTION I. 4oi

la fonction 9 (x) sera une fonction omale croissante de x , et on aura à résoudre l'équation x" = y(x).

Pour cela supposons que l'on construise sur la même ligne des f abscisses, et dans le sens positif seulement, les deux courbes dont les équations sonty=x",j^— 9 (x); désignons par P le point d'intersection de ces deux, courbes qui répond à la plus grande racine .r = r; la racine /'étant plus petite que a, si on fait x=u dans ç(o.), on aura une ordonnée 9 (a) plus grande que l'ordonnée r* du point P; car <p(x) étant une fonction omale croissante, si l'on a a> r, il faut qu'on ait aussi 9 (a) > 9(7'), ou 9(<*)>r\

Soit/i le pointde la courbe ^*=:9(j;) qui répond à l'abscisse x = a; si on mène par le point n une parallèle à la ligne des abscisses qui rencontre en m la courbe/=x", l'abscisse correspondante au point m étant nommée a, l'ordonnée en m sera (a*)"; ainsi on aura (a)"— o(a),

et par conséquent a' =l/y (a).

Comme on aç(i)>r", il s'ensuit qu'on a aussi «'> r ; mais « est plus approchée de r que a.

L'abscisse a détermine sur la courbe^=9 (x) un second point n

dont l'ordonnée est 9(*)> si par ce point on mène une parallèle à la

ligne des abscisses qui rencontre en m la courbej-^x*, l'abscisse

correspondante au point m' étant nommée a", on aura a"=l^9(a'), et l'abscisse et" sera encore plus grande que celle qui répond au point d'intersection P, mais elle doit en approcher plus que a'.

Il est inutile d'entrer dans de plus grands détails , et on voit qu'en partant de la limite supérieure a > x , si on calcule les termes successifs tî , a", etc. par les formules

«=!>*(«), «"=l>9(«). «"=i>9(0> «te.,

la plus grande racine positive r de l'équation proposée sera la limite vers laquelle convergent les termes de la série décroissante «, « , a , etc.

Cette suite devra être plus ou moins prolongée, selon qu'on veut II. 5i

4oa APPENDICE.

obtenir une plus ou moins grande «approximation ; mais en général la convergence deviendra manifeste après un petit nombre de termes.

(8) ï^es premiers termes de la suite <*, a, x", etc. pouvant être fort éloignés de la racine que l'on cherche , il ne sera pas nécessaire de calculer avec beaucoup de précision ces premiers termes; mais lorsque deux termes consécutifs commenceront à différer peu l'un de l'autre, il faudra augmenter progressivement le nombre des décimales, jusqu'à ce qu'on obtienne deux termes consécutifs qui ne différent que dans l'ordre de décimales qu'on veut négliger. Pour parvenir plus promptement au résultat, on pourra employer le moyen suivant.

Désignons par a, «', a" les trois dernières valeurs approchées de r; aux points de l'axe qui correspondent à ces abscisses, menons des ordonnées p , p\p" égales respectivement aux distances m ri, tri n", m" ri", qui ont pour expression a* — a'" — ç(*)> «"* — ç(0» faisons passer une courbe parabolique par les extrémités de ces ordonnées, et soit y = A — Qz+Cc l'équation de cette courbe, z étant l'abscisse comptée du point où x — «. On aura, pour déterminer A , B, C, les équations

//=A — Bf* — *') + C(«— «y, p" = A — B(« — a")-f- C(« — «"y.

Faisant ensuite j— o, on aura

aA

d'où l'on tire l'abscisse cherchée du point d'intersection r=* — z.

(9) Si l'équation proposée ne devait avoir aucune racine positive, on trouverait que la suite «, a", «'", etc. n'a point de limite, et que les ternies décroissent successivement jusqu'à devenir nuls. On n'en conclura cependant pas qu'il y a une racine égale à zéro, car cette racine est toujours exclue.

On peut d'ailleurs, pour abréger le calcul, chercher d'avance la limite inférieure des racines positives. Il faut pour cela faire

SECTION I. 4o3

et après avoir trouvé, par la méthode de l'article i , la limite supérieure de z, qu'on appellera X , on en conclura que la plus petite valeur positive de x est > j. Donc , dès que la suite «, «', a",

etc. descendra jusqu'à un terme on sera sûr que la racine cherchée n'existe pas. Ce procédé s'applique au cas où , ayant déjà déterminé toutes les racines positives r, r\ r">r", etc., la recherche d'une racine de plus doit conduire à une impossibilité.

Manière de trouver les autres racines positives de la même équation .

(10) La plus grande racine r étant trouvée, nous chercherons d'abord celle qui la suit immédiatement par ordre de grandeur, et que nous désignerons par r.

Pour cela, le moyen le plus simple est de revenir à l'équation primitive X = o, et de diviser son premier membre par x — r ; on aura l'équation du degré n — j qui contient les autres racines , parmi lesquelles celle que nous cherchons maintenant, et que nous avons désignée par r', est la plus grande.

La nouvelle équation à résoudre pourra être mise sous la forme a^~" = ii (x) , | (x) étant une fonction omale de x. On procédera donc à sa résolution par la même méthode qui a été suivie pour l'équation x"= 9 (x) , et en observant que la limite des racines est connue d'avance, puisqu'on doit avoir r'<r.

Il est clair qu'en continuant ces opérations on trouvera successivement les autres, racines positives r", r'", etc. , s'il en existe : et lorsque la racine cherchée n'existe pas , le calcul en manifestera de lui-même l'impossibilité, comme nous l'avons remarqué dans l'article 9.

(1 1) La division de l'équation proposée par x — r peut s'exécuter de la manière suivante.

En prenant la même valeur de y(x) que dans l'article 7 , l'équation proposée x'=f(x)t exprimée de la manière ordinaire, est

1o4 APPENDICE

xm + faT ' + g**-' + etc. = a + b xT'1- -|- c x^1- + etc.

Soit le premier membre =P(.r — r)-t-p, et le second =Q(x — r)+q, p et q étant les restes de la division des deux membres par x — r; puisque la valeur x = r satisfait à 1 équation , on devra avoir p = q, et par conséquent l'équation du degré n — i qui reste à résoudre, estP = Q.

Soit

V=x"~' +f x-' + g>x*~i + h'xT-* + etc. , Q — ax'-*" + O'x*-1-' + cx-M + etc. ;

on aura évidemment

g'=g+fr, b'=b + dr,

etc. etc.

Nous aurons donc l'équation

xr- ' 4- fx-' +g'x*-s+ etc. = (ix' + b' xT*"+ c x'-1-1 + etc. ,

que l'on peut mettre sous la forme x"~' =9, (x), en prenant une nouvelle fonction omale ç, (x) , ainsi exprimée :

i+^+Jï+etc.

Il faut observer cependant que comme le polynôme .r"-' -+- J" x"' -i-g'x*-* + etc., contiendra nécessairement toutes les puissances de a: inférieures à n — 1 , il y aura des réductions à effectuer entre les derniers termes de ce polynôme et ceux du polynôme d x*-*~' +b'xm~*~'+eU'. En général, dans la valeur de (x) il faudra réduire le terme M x*~l", pris dans le numérateur, avec le terme N.r~*~', pris dans le dénominateur, et porter la différence des coefficients où il y aura excès, c'est-à-dire mettre (M — N) x*~ *— dans le numérateur , si on a M> et (N — M)jf*-' dans le dénominateur, si on a M < N.

SECTION I. 4o:> Cctteopérationétantfaite^nauraàrésoutlrelequationj^'^^or), <lont on sait que la plus grande racine r'doit être < r. Connaissant cette seconde racine r', on procédera semblablement pour avoir la troisième r", et les suivantes, s'il y a lieu.

(la) La méthode que nous venons d'indiquer s'applique de même aux racines négatives; ainsi on peut trouver par son moyen toutes les racines réelles d'une ^quation numérique : peut-être cette méthode est-elle ce qu'on peut proposer de plus simple et de plus général pour la résolution des équations numériques, au moins tant qu'il n'y a pas de circonstance particulière qui puisse aider à trouver les racines.

On pourrait, sans changer la forme de l'équation proposée x'=^x)y trouver successivement toutes ses racines, au moyen d'une construction géométrique qui ferait connaître les divers points d'intersection P, F, P", etc. des deux courbes y=x* ,y=y(x); mais la détermination du second point P', et en général de tous ceux qui ont un rang pair, serait beaucoup moins facile que celle du premier point P et de tous ceux dont le rang est impair. Ët puisque tout embarras peut être évité par les divisions successives ou les opérations équivalentes que nous avons indiquées , nous nous abstiendrons d'entrer dans d'autres détails sur ces recherches.

Seconde méthode pour la résolution des équations numériques.

(i3) Étant proposé l'équation du degré n,

i" + fx—' -t-gaT— + kx—* + etc. = o,

dont nous désignerons le premier membre par F (•*-'), prenons un nombre n de facteurs i -+■ x , a •+- x, 3 -t- x, . . ./i -f x, et supposons que le premier membre soit divisé par le produit de tous ers facteurs; on aura d'abord le quotient 1 égal au coefficient du premier terme, ensuite on pourra supposer que le reste est décomposé en fractions partielles, de manière que l'équation proposée prendra la forme i

4o6 APPENDICE.

dans laquelle ( i ) , (a) , (3) , etc. sont des coefficients qu'on déterm tnera de la manière suivante.

Soit en général x+ k l'un des facteurs x 4- i , x a a- + m ,

et Q(#) le produit de tous les autres; on pourra faire

ce qui donne A==F(x^*+gyx+*>Q^.Sott?dauscetteéquation, x = — A-, on aura

c'est l'expression générale du numérateur de la fraction partielle qui a pour dénominateur k-\- x.

Dans cette expression, Q( — k) est le produit de tous les facteurs (i — k) (a — k) (3 — k). . . .(n — A), excepté celui qui devient zéro pour une valeur déterminée de k. Ainsi on aura successivement

Q(-»)=-dr,Q(-0.

etc.

De sorte que Q( — k) sera positif pour toutes les valeurs impaires de k, et négatif pour les valeurs paires.

Si F(x) reste constamment positif pour toutes les suppositions

# = — i, — a , — 3 — n, il est visible que le coefficient (k) aura

le même signe que Q( — k) , c'est-à-dire qu'il sera positif pour toutes les valeurs impaires de k, et négatif pour toutes les valeurs paires.

l« contraire aura lieu si F(x) reste constamment négatif dans toutes ces suppositions.

Mais cet ordre sera troublé si F (x) ne conserve pas le même signe, dans les diverses suppositions x = — 1 , — a, — 3. . . — n ; en général, si F( — k) et F( — k — 1) sont de signes contraires, ce qui indiquerait une racine négative entre .r== — k et x= — k — 1 , les coeflicients (k) )(k+ 1) seront de même signe ; et ils seront toujours de signes différents si F( — k) et F( — k — 1) sont de même signe.

( 1 4) Désignons en général par , -^-x , , etc. les termes

JT+Z' dans ,es<luels (*) est positif et par — j—, ~ â^Tr' B"

— tr+x* etc* ceux dans 'es<lue's (*) négatif; si on fait

f \ A A' A" <p [x) = - : h —, h -tz h etc. ,

l'équation proposée se réduira à la forme

où y(x) et 4» (x) sont deux fonctions omales décroissantes de t . Cette équation peut aussi être représentée par

t » • /"Ai en désignant par^j^la somme des termesqui composent et

une somme semblable pour ty(x).

Suivant ce qui a déjà été dit, on voit, 1" que les diverses valeurs de a seront tous les nombres impairs, et les diverses valeurs de b tous les nombres pairs moindres que n , si F( — k) est constamment positif; a' que l'inverse aura lieu si F(— k) est constamment négatif; 3* que cet ordre ne peut être troublé que lorsque F ( — k) et F(— k— 1 ) sont de signes différents, auquel cas les deux termesqui ont pour dé-

4o8 APPENDICE.

nominateurs k-\- x , k + n-x appartiennent à une même fonction <p(ar) ou ty(x). Donc quand il arrive que deux dénominateurs consécutifs k + xt k-hi + x se trouvent dans la même fonction 9 (x) ou ■i>(x) , on en doit conclure qu'il y a une racine négative entre x— — h et o; = — k — 1. C'est d'ailleurs ce qu'on peut démontrer immédiatement. En effet, supposons, par exemple, que dans <p(x) se trouvent les . A" A'"

deux termes 5 \-~ — ; si on fait successivement x= — 3 — ta,

x — — \ 4- 10, w étant infiniment petit, on obtient deux résultats, dont l'un est infini positif et l'autre infini négatif. Donc il y a une racine entre — 3 et — 4-

(i5) Maintenant pour procéder à la résolution de l'équation ainsi exprimée par deux fonctions omales simples, il faut imaginer qu'on construise, dans le sens des x positifs seulement, les deux courbes qui ont pour équations y— 1 + 9 (x) , y—- $ {x) , et les diverses intersections de ces courbes donneront les diverses racines positives qu'on veut déterminer. Prenons d'abord une idée de la figure de ces courbes.

j-ig. 4 Soit OX la ligne des abscisses commune aux deux courbes, O el J' l'origine des x; la première et la plus grande ordonnée de la courbe y= 1 •+- y(x) est représentée par OA=i +9(0). Passé le point A, l'ordonnée diminue de plus en plus, à mesure que l'abscisse augmente; elle finit par être égale à 1 , lorsqu'on fait x = oo . Ainsi en prenant O C = 1 , et menant par le point C une parallèle à la ligne des abscisses , cette parallèle C L sera l'asymptote de la courbe^= 1 -t- 9 (x).

L'autre courbe y— (x) , représentée par B P L , a pour première et plus grande ordonnée BO=(J»(o). Passé le point B, l'ordonnée diminue continuellement et devient zéro lorsque x=r>. Cette courbe a donc pour asymptote la' ligne des x.

( 16) De cette description sommaire on peut déjà tirer plusieurs conséquences relatives au nombre et à la limite supérieure des racines positives.

l'Si l'on veut déterminer le point L ou la courbe y—ty (a?) ren-

SECTION I. 4o9

contre la droite C L qui est l'asymptote de l'autre courbe^rrrï +y(x), il faudra résoudre 1 équation omale

Soit \ la valeur de x tirée de cette équation , par la méthode de l'art. G; il est évident que s'il y a des intersections entre les deux courbes, elles ne peuvent avoir lieu qu'en-deçà du point L. Doncx est plus grande que la plus grande racine de l'équation proposée.

Si donc l'équation proposée doit avoir m racines positives, il faut que l'arc BL soit coupé en m points par l'autre courbe. Ces intersections ne peuvent guère être rendues sensibles dans la construction graphique des deux courbes, convexes d'un même côté, à moins d'opérer sur une très-grande échelle, mais il suffit pour notre objet d'en concevoir la possibilité.

a' Si l'ordonnée du point B est plus grande que celle du point A, R*. 4 c'est-à-dire, si l'on a 9 (o)> 1-4-9(0), H y aura nécessairement au moins une intersection. En général le nombre des intersections , qui est celui des racines positives de l'équation proposée, devra être impair, puisque la courbe BL, qui d'abord est élevée au-dessus de l'autre courbe, passe nécessairement au-dessous dans la région du point L.

3* On ne peut avoir 9 (o)= i + 9(0), c'est-à-dire que le point B ne peut pas coïncider avec le point A, parce qu'alors on aurait la racine x=o, cas qui est exclu, ainsi que celui où- l'équation proposée aurait des racines égales.

4* 11 ne reste donc à considérer que le cas de <|» (o)< 1 +9 (o). Alors fïç. 5. le point B étant situé au-dessous de A , s'il y a une première intersection , il y en aura nécessairement une seconde, et en général Je nombre des intersections devra être pair.

5' S'il arrivait qu'on eût i, (o)< 1 , le point B tomberait au-dessous de C; il n'y aurait donc alors aucune intersection , ni par conséquent aucune racine positive.

(17) Voici donc les symptômes des différents cas généraux qui peuvent avoir lieu.

4io APPENDICE.

i* Si l'on a^(o)>i+?(o), l'équation proposée aura au moins une racine positive; elle pourra en avoir trois, cinq, et en général un nombre impair.

•x" Si l'on a ^(o)< i +9(0), l'équation proposée n'aura aucune racine positive , ou elle en aura un notnbrs pair.

3* Si l'on a 9(0) < 1 , l'équation proposée n'aura aucune racine positive.

Venons maintenant à la résolution effective de l'équation proposée: elle consiste à déterminer les valeurs numériques des racines positives, ou à prouver qu'il n'existe aucune de ces racines.

Il y a deux manières de faire ces calculs ; Tune en commençant par la plus grande racine, l'autre en commençant par la plus petite. Nous allons exposer ces deux moyens successivement.

Recherche de la plus grande racine.

Fig. 6, ((8) On connaît déjà la limite \ de la plus grande racine, par la résolution de l'équation omale 1 = cette limite est l'abscisse du point L.

Soit k le point de la courbe )-= 1 -4- 9 (x) qui a la même abscisse que le point L ; si par le point k on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en* la courbe y = |(.r), et qu'on appelle a l'abscisse du point i, on déterminera a en résolvant l'équation 1 -+- 9 00= K*)-

Soit ensuite k' le point de la courbe P* qui a la même abscisse que le point i, et dont l'ordonnée est par conséquent 1 + 9 («); si par le point k' on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en i' la courbe y=ty (x) , et qu'on appelle * l'abscisse du point i\ on déterminera * par l'équation 1 + 9 («) = 9 (a).

De là on voit qu'il faut calculer successivement les quantités X , «, a', a", etc. par la résolution des équations

etc. ,

SECTION I. 4n

et le dernier terme de la suite décroissante a', a", etc. sera la valeur de la racine cherchée r.

Nous remarquerons comme ci-dessus , que le calcul des termes x,«,a, a", etc. n'exige beaucoup de précision que lorsqu'on est parvenu à deux termes consécutifs tres-pcu différents l'un de l'autre.

Nous remarquerons encore qu'au moyen du dernier terme trouvé, qui approche déjà beaucoup de la valeur de x, on peut achever le calcul de la manière suivante.

Soit p ce dernier terme, et soit x—p — w, <o ne pouvant être qu'une très-petite quantité , si on substitue cette valeur dans l'équation proposée i -+- 9 (x)=ty(x) , le résultat sera de la forme

où l'on a fait , pour abréger ,

On aura donc, en négligeant seulement les quantités de l'ordre

et de là x—p — w.

Détermination de la plus petite racine.

(19) Il y a deux cas à considérer , selon que 1 + 9 (o) est plus petit ou plus grand que 9(0).

Premier cas, 1 +9(0X4.(0). Alors le point A, origine de la F*. 4.. courbe 7= 1 + 9^), étant situé au-dessous du point B, origine de la courbe y= 9 (x), je mène A b parallèle à l'axe qui rencontre en b l'autre courbe. Soit a l'abscisse du point b , on trouvera a en résolvant l'équation omale 1 + 9(0) = 9 (a), et « sera une première approxi-

4ia APPENDICE.

■nation vers la moindre racine .r = r qui est l'abscisse du premier point d'intersection P.

L'ordonnée menée au point b coupe la courbe inférieure en un point a dont l'ordonnée = i + ? (a). Par le point a menons une parallèle à l'axe qui rencontre la courbe supérieure en b1; si on appelle a l'abscisse du point b\ on trouvera a' par la résolution de l'équation i + 9 («) = <|>(«). Continuant ainsi indéfiniment, on voit que l'abscisse qui convient au point d'intersection P, sera le dernier terme de la suite a, «',«", etc.

Donc pour avoir la plus petite racine x—r, il faut déterminer successivement les termes a, a , a", etc. par la résolution des équations omales

etc.,

et la dernière des quantités croissantes a , et', a", etc. , ou la limite vers laquelle tendent ces quantités, sera la racine cherchée ar = r.

Fig. 5. (ao) Second cas, i -t- ç> (o) > | (o). Alors le point B étant situé au-dessous de A , on mènera par le point B une parallèle à l'axe qui rencontrera en a la courbe supérieure A P. Soit a l'abscisse du point a, on trouvera a en résolvant l'équation omale (J»(o)=i + et « sera une première approximation vers la racine cherchée.

L'ordonnée au pointa rencontre la courbe inférieure en un point b dont l'ordonnée =|(a). Par le point b menons une parallèle à l'axe qui rencontre en a la courbe supérieure; si l'on appelle * l'abscisse du point a', on trouvera «' en résolvant l'équation omale

(j, (et) = I -f- 9 (et').

On voit maintenant , sans entrer dans de plus grands détails , que si on détermine successivement les termes a, «',«", etc., par les équations

etc.,

le dernier terme de la suite o, a", etc. sera la valeur cherchée de la plus petite racine x — r.

(ai) Dans les deux cas, la difficulté se réduit toujours à résoudre un certain nombre d'équations omales simples, par les formules de l'art. 6. Nous avons d'ailleurs observé que les premiers termes de la suite «, a", etc. n'ont pas besoin d'être calculés avec beaucoup de précision ; ainsi , à cet égard, les calculs peuventêtre notablement abrégés. On voit ensuite par la nature de ces opérations , que les points a, ai , a", s'approchent rapidement du point d'intersections P; de sorte qu'on n'aura jamais à résoudre qu'un petit nombre d'équations omales simples. D'ailleurs la détermination de la limite pourra être abrégée, si on le juge à propos, parle procédéde l'art. j8.

Il pourra arriver aussi qu'on sache d'avance que la racine cherchée r est plus grande qu'une quantité connue X; dans ce cas, ou partira de la valeur « =\ pour déterminer toutes les autres a , a", etc., ce qui abrégera le calcul.

Nous observerons encore que dans le second cas, il pourrait arriver qu'on ne trouvât pas de solution; alors la suite <|»(«), Y(«"), etc., dont le premier terme est > i , en offrirait bientôt un < i , ce qui prouverait qu'il n'y a aucune intersection entre les deux courbes, ni par conséquent aucune racine positive de l'équation proposée.

La détermination de la plus petite racine peut être effectuée par une suite plus convergente que celle dont nous venons de montrer l'usage ; mais avant d'exposer cette seconde solution , nous avons à résoudre le problème suivant.

De l'intersection d'une droite quelconque avec la courbe orna le

Fiç. 7 (22) Soit BNG la courbe décrite d'après l'équation y=z^{x)\ <\>(x) étant une fonction omale simple qu'on peut représenter par

l>^^' Soit F un point donné sur le prolongement de l'ordonnée

du point N ; si par le point F on mène sous un angle donné N FG, la droite F G qui rencontre la courbe au point G, il s'agit de déterminer l'abscisse du point G.

Soit y l'abscisse donnée du point F, la distance donnée FN=c, et m la tangente de l'angle que fait la droite F G avec l'axe; si on appelle xl'abscisse du point G , on aura pour déterminer x, l'équation

Or je remarque que le second membre de cette équation est une fonction omale décroissante de x ; car à mesure que x augmente , ou à mesure que le point G avance sur la courbe dans le sens des x , il est visible que le second membre qui représente la tangente de l'angle que fait F G avec la parallèle à l'axe menée par le point F , diminue continuellement. Au reste cette fonction peut être présentée

sous une forme entièrement développée ; car ayant fait <|» (x) =Jj^ ,

1 B B B(or— f) c .

si on observe que J^= T+f~ (*+/)(*+«) ' °n P°Urra fa,re

f B 1 et comme jj^y^sX la même chose que (/), l'équation à résoudre

se réduira à cette forme

(1) m==£.+yl£,

où l'on a fait, pour abréger, C=j^-

Comme x doit être plus grand que f, on voit que le second membre

SECTION I. 4i5

de cette équation est en effet une fonction omale simple de x, à- •compter de j'observe de plus que cette fonction étant infinie

lorsque x=f,et nulle lorsque x = oo , l'équation sera toujours possible , quel que soit m , pourvu qu'il soit positif; c'est-à-dire, pourvu que la droite F G soit menée par le point F, de manière à rencontrer l'axe dans la partie indéfinie /X.

Mous remarquerons encore que si l'on a c = o, ou si le point F coïncide avec le point N, alors l'équation à résoudre devient

c'est l'équation qui détermine le point d'intersection de la courbe y—ty(x)t avec la droite menée par un point N de cette courbe, en sorte qu'elle fasse avec l'axe des x, un angle dont la tangente = m.

(a3) Dans le cas où c n'est pas nulle , la résolution de l'équation ( i ) se rapporte à l'art 6 , et il faudra , pour effectuer la solution , connaître une première valeur approchée de x. Or puisqu'on doit avoir

m > -^zz/j il en résulte x >f+ £ : on peut donc partir du premier

terme k ==/-f- ^ , pour calculer successivement les autres termes

k',k", etc. , dont la limite est la valeur cherchée de x.

(a4) On peut encore déterminer l'abscisse du point d'intersection G par le procédé suivant.

Par le point N menez une parallèle à l'axe qui rencontre la droite F G en I ; du point I abaissez une perpendiculaire à l'axe qui rencontrera la courbe au point N'; par le point N' menez de même NT parallèle à l'axe, puis I'N" perpendiculaire, et ainsi de suite. Soit/' l'abscisse du point N',/" celle du point N", etc. , on calculera les termes successifs /', /", etc. par les formules

/»>=/> +K/')-<d£lt

4i6 APPENDICE.

et il est visible que la limite vers laquelle tendent les termes de la suite f,f,f", etc. sera la valeur cherchée de l'abscisse du point G.

Cette méthodeest plus simple que la précédente; mais elle ne peut être employée lorsque c — o ; elle ne petit pas l'être non plus lorsque m = o, c'est-à-dire lorsque la droite F G est parallèle à l'axe, parce qu'il n'y a point d'intersection dans le sens où x est > /.

Seconde manière de déterminer la plus petite racine.

(a5) Nous supposerons qu'on a 9(0) > i + ?(o), parce que, dans ce cas, l'équation i -f- ? (x) = ^ (x) a toujours au moins une racine positive.

f 'g Par le premier point B de la courbe/=i|»(x), soit menée la tangente Ba qui rencontre en a la courbe^= 1 4-?(x), et soit a l'abscisse du point a, on trouvera, par la formule de l'art, a?., que « est la racine de l'équation

dans laquelle on a c = t}»(o) — i — 9(0), et où la fonction omale /à(a4-x)est déduite °*e 'a fonction 9 (x) =J^^^ , en divisant chaque terme de celle-ci par la valeur correspondante de a. On appliquera donc à cette équation les formules de l'art 5 , en

prenant pour première valeur de A, d'après l'art. C, ^==^^ .

Par le point a ainsi déterminé , menez une perpendiculaire à l'axe qui rencontre la courbe supérieure en b; au point b menez la tangente b a qui rencontre la courbe inférieure en a , et ainsi de suite.

Si on appelle o', etc. les abscisses des points a', a", etc. , on trouvera que les différents termes a , « , «", etc. se déterminent par la résolution des équations successives

— K»)=™ x +Ji+i' dou*=«,

-vm-*®2=?®+P%&, d'oilie='''

etc.

section r. 4«7

-et la limite vers laquelle convergent les termes de la suite croissante «, a', a", etc., sera la valeur de la plus petite racine cherchée.

Au reste ces formules étant moins simples que celle de l'art.' 19, nous nous bornerons au cas qui vient detre résolu , et nous n'examinerons pas celui où l'on aurait 9(0) < i-f- 9(0).

Connaissant la plus grande ou la plus petite racine jwsitive , déterminer toutes les autres.

(26) On pourrait chercher successivement toutes les racines par les intersections des deux courbes que nous avons tracées, sans changer la forme de l'équation proposée qui détermine ces courbes. Mais il est beaucoup plus simple, après avoir trouvé la racine .r=r, de supprimer de l'équation proposée le facteur x — r, afin d'avoir l'équation du degré immédiatement inférieur, qui contient les autres racines , et dans laquelle r sera la limite de la racine r' qui doit suivre immédiatement r. Voici le procédé qu'il convient de mettre en usage pour cet objet.

Nous avons supposé que l'équation proposé du degré n est divisée par le produit (1 + x) (a + x). . . .(n + a-), afin de mettre cet te équation sous la forme 1 <ç(x)=ty(x). Lorsque le degré de l'équation se réduit à n — 1 , on doit donc faire disparaître le plus grand dénominateur n -\-x, afin que le plus grand de ceux qui restent soit n — 1 + x, conformément au degré de l'équation. Pour cela il faut multiplier parw +xles différents termesde l'équation 1 -4-ç(x)=9{ar), et faire en sorte que le produit soit divisible par x—r.

g^ A(/i+x) Af/i-f-r) Afn — a)(r — x) » r.

Or on a v , ; = v / -4- — — r;; donc si on fait

— — — i=A,, on aura

9 (x) = f— ~ = (n-h r) f~— + (r — x) f—^~- De même en faisant B — fi on anra

4i8 APPENDICE.

Substituant ces valeurs et observant qu'on a J-^~ = y(r) et j-j— = i( (r) , l'équation i + <j,(ar) = | (x) deviendra

« + x 4- (a 4- /•)*(!•) 4- (r-ar) (» + r) * (r) + (r—xtf-fe.

Mais puisque la valeur x= r satisfait à l'équation i + ç (x) = $ (x), onai+î(r)=^(r); effaçant donc dans l'équation précédente les termes qui se détruisent, et divisant le reste par r — x, il viendra

Jà + x Ja + x

Cette équation qu'on peut mettre sous la forme i 4- <|>, (x) =9, (x) , est entièrement semblable à la proposée; mais elle a un terme de moins , car par les valeurs des coefficients A, , B, , on voit que le terme qui avait pour dénominateur n + x, disparaîtra, soit qu'il appartienne à la fonction <ç(x) ou à ty(x).

D'ailleurs on doit observer que comme n est le plus grand des nombres aetb, les coefficients A, et B, seront toujours positifs, de sorte que le passage de l'équation proposée 1 -f- ç(;t) = <J*(j:) , à la suivante 1 4- ({i, (x) — ç,(x), qui contient une racine de inoins , ne fait quoter un ternie de l'une des fonctions ^(#), <{* (.x), sans en faire passer aucun de Tune dans l'autre, comme cela aurait lieu si quelqu'un des coefficients A,, B, devenait négatif. Il n'y a que le terme constant 1 qui change de signe ou qui passe d'un membre dans l'autre.

(27) On voit donc que la division de l'équation proposée , par

x — r, s'exécute par un procédé très-simple qui consiste à transposer

le terme constant 1 , et à remplacer dans chacun des termes et

, f ,1e coefficient A par ^n~~a\el le coefficient B par -("T"^o + x 1 a-\-r ' ' b-\-r

Maintenant nous n'avons aucune règle nouvelle à donner pour la

résolution de l'équation 1 4- ty,(x)=<f,(x). On appliquera à cette

équation les formules des articles 19 et suivants ; et sachant d'avance

que la plus petite racine r' est > r , on parviendra plus facilement

encore au résultat. Après avoir trouvé la racine ;*' qui est la seconde de l'équation proposée, on formera semhlablement une troisième équation 1 + ç, (#) = 4», (a?), qui contiendra les « — a autres racines.

On aura donc ainsi successivement, par des équations qui se simplifient de plus en plus, les diverses racines positives r, r', r", etc. de l'équation proposée, et ce calcul sera terminé lorsqu'on sera parvenu à une transformée qui n'est plus résoluble, ce qu'on reconnaîtra aux conditions que nous avons indiquées dans la solution générale.

(a8) même méthode fera connaître les racines négatives en partant de l'équation proposée , dans laquelle on changera le signe dex, et que l'on mettra ensuite sous la forme 14- <p (x) = (.r). Mais il sera plus simple de prendre la dernière des transformées 1 -k-ty,(x)=y,(x), f -H 9,(x) = (j/,(x), etc., laquelle ne contient plus de racines positives, mais peut en contenir de négatives. Pour obtenir celles-ci on réduira cette transformée à la forme ordinaire, débarrassée de fractions, et après avoir changé le signe de x, on lui appliquera la méthode du n* 1 3, pour la réduire de nouveau à la forme 1 -f- 9 (x)= | (.r), dont il faudra chercher les racines positives.

(29) Il reste donc à faire voir comment on peut résoudre une équation qui n'a que des racines imaginaires; mais ce problème est beaucoup plus difficile que celui qui consiste à trouver les racines réelles, et nous ne nous flattons pas que les méthodes précédentes fournissent de grands secours pour sa solution. Il est vrai qu'on pourrait trouver les racines imaginaires d'une équation du degré n, au moyen des

racines réelles d'une équation du degré n^n l\ Mais |K>ur peu que

n surpasse 4 > l'extrême complication d'une telle transformée et des calculs nécessaires pour y parvenir, rend l'usage de ce moyen toutà-fait illusoire. C'est donc dans l'équation proposée elle-même, et non dans une transformée d'un ordre plus élevé, qu'il faut chercher les moyen d'obtenir les valeurs numériques des racines imaginaires. Nous avons déjà indiqué, art. 119 du Traité précédent, une méthode qui aurait l'avantage de conduire assez facilement à ce but ,

ho APPKNDrCHL

si on pouvait donner quelques lumières au ealeulateur sur le choixîle la première valeur hypothétique de la racine exprimée par a + € V — i ou r (pos. ô 4- \/ — i sin. û). Mais en attendant que cette méthode reçoive les améliorations dont elle est susceptible, nous allons donner les formules qui , dans l'application de la méthode précédente, conviennent au cas des racines imaginaires; et d'abord une racine imaginaire étant représentée par r(cos. 6 + 1/ — i sin.6\ nous chercherons les limites de la quantité r, qui est en quelque sorte la mesure de grandeur ou le module de cette racine , puisque la valeur d'une puissance quelconque m de # ne peut jamais surpasser r", mais peut en: différer aussi peu qu'on voudra.

Limites de la quantité réelle qui sert de module aux racines

imaginaires.

(3o) L'équation proposée dont toutes les racines sont imaginaires étant désignée par

.r" ± A, or- ± A,x— ± Aj-r-3 H- A.=o ,

si on suppose x=r(cos.O +|/ — i sin.ft), cette équation se partage en deux autres, savoir,

;-"cos.«6i:AIr"~'cos.(// — î^ôzfcA.r— *cos.(n — 2)6. . . -i- A.=o, r"siii.«e±A,r"" 'sin.(«— i)0±A,r— *sin.(/t— a)6. . .±A l.rsiii.0=o.

Multipliant la première par cos.rcO, la seconde par sin.nO, et ajoutant les produits, ou a

r"±A,r— cos.Ô ± A,r— 'cos.aO. . . + A„cos.n6 = o.

Or il est visible que l'hypothèse qui rendra r" le plus grand , est celle où l'on aurait

les coefficients A, , A,, A„ etc. étant tous pris positivement dans le

second membre, et alors en appliquant ce qui à été trouvé dans le cas des racines réelles, art. 1 , on pourra en conclure,

î' Que si A„ coefficient du second terme, n'est surpassé en grandeur par aucun des autres coefficients A,, A,. . .A., on a

2a Que si A, et A, sont les deux coefficients pour lesquels l/A, et \/Kk sont les plus grands, on aura

telle est donc, dans ce cas, la limite supérieure de la quantité /• qui sert de module aux racines imaginaires.

(3i) Pour avoir la limite inférieure de cette même quantité, j'observe que l'équation proposée n'ayant, par hypothèse, que des racines imaginaires, son dernier terme A. doit être le produit de toutes les quantités r', r'", r"1, etc. , qui résultent des différentes couples de racines imaginaires. Soit donc r la plus grande des quantités r, r ,

r", etc. , et r** ou p la plus petite , on aura

r>l>A. et P<l>A.:

le plus grand des modules r doit donc être compris entre les limites suivantes :

Quant aux limites du plus petit module p, nous n'avons encore que ■

la supérieure p < l/A„; mais il est aisé d'avoir la limite inférieure.

Pour cela il faut, dans l'équation proposée, faire x—1-, ce qui donnera une équation de la forme

z* ± B.z— =fc B,z— + B.=o,

et il faudra considérer deux cas.

i* Si Ba, coefficient du second terme, est au moins aussi grand

/pa APPENDICE.

qu'aucun autre coefficient, on aura, en prenant B, positivement

2° Si B, et B* sont les deux coefficients pour lesquels l/B, et

1/B, sont les plus grands, on aura, en appelant a et b ces deux radicaux , z < a -t- b.

Donc, dans le premier cas, on aura p> t , et dans le second

Forme des équations à résoudre dans le cas des racines imaginaires.

(32) Soit F (x)=o l'équation proposée du degré/?, dont toutes les racines sont imaginaires; si on substitue pour .ru ne valeur quelconque x=k, le premier membre F (k) sera toujours une quantité jw>sitive. 11 suit de là que si on procède comme dans l'article 1 3, et qu'on divise l'équation proposée par le produit des facteurs t + x, 2+a\ . .n+x,

afin de lui donner la forme i + ç(,r) =ty (x) , ou 1 -+- J'a^x—J'f^~( '■<

les différentes valeurs de a seront les nombres impairs 1,3,5. . .n — i, tandis que celles de b seront les nombres pairs a, 4> 6. . .n.

Ainsi , dans le cas des racines imaginaires , les fonctions ç (x), ^ (x) sont constamment de la forme suivante :

TV ' i-hx 3 + .* 5-f-.r n — i +x '

YW a-f-x 44-* 6+x n + .r '

de sorte qu'elles ont le même nombre de termes.

(33) Cela posé, si l'on fait x=r(cos.G + \/ — i sin.6), on aura

A A . A(a+rcos.Q — V — i .r»in.<)

a+x «+r(cos.0+»/— isin.6) a' + 2arcw.9+r' '

et par conséquent

SECTION I. 4a3

De là on voit que l'équation i j+x~~fb ^ x s<* Parta£cra en deux autres, savoir,

^/a'-t-aarcos.fl-t-r' J b'-hnùrcos.Q-t- r' y

J a' + iarco*.l+ r" J £*-f-a*rcos.fr-W » '

Dans le premier membre, a aura toutes les valeurs impaires i , 3, 5. . . /» — i , et dans le second , b aura toutes les valeurs paires a , 4 , (y. . . .n.

Telles sont donc les deux équations qu'il faut résoudre pour trouver les valeurs de r et de fr qui appartiennent à chaque couple de racines imaginaires.

Le nombre r est toujours positif : quant au nombre rcos. 6 , il peut être positif ou négatif ; et à cet égard , on pourrait distinguer deux sortes de racines imaginaires, les unes positives lorsque la partie réelle rcos.fr est positive, les autres négatives lorsque cette partie est négative.

(34) Les équations précédentes peuvent être censées formées dans Ja supposition de rcos. fr positif. On pourrait en former de semblables dans la supposition de rcos. 0 négatif. Pour cela il faudrait changer le signe de x dans l'équation proposée , et procéder de même, après ce

changement, pour réduire l'équation sous la forme i -fr^^g Jz~fr[>

ensuite on ferait x=r(cos.6 -f- \/ — i sin.fr), ce qui donnerait deux équations semblables aux équations (*), mais dont les coefficients seraient différents.

Ce qui semble nécessiter cette distinction , c'est que si on laissait les équations («) sous la même forme lorsque cos. 0 est négatif, la fonction

f t-, A L , . ne serait plus une fonction omale de r. En effet

cette fonction étant différentiée par rapport à r, donnerait le coefficient différentiel

f aAfr+acos.ô) J (a'+aarcos.O + r')' '

4ai APPENDICE.

lequel ne conserverait pas le même signe depuis r=o jusqu'à r=oc, contre la nature des fonctions orna les.

II faudra donc, pour la solution complète de l'équation proposée, considérer deux systèmes semblables au système («), et dans chacun desquels cos.6 sera supposé positif.

(35) Soit maintenant rcos.e=/;, r'=q, les deux équations à résoudre seront

i + f Ka -=[ D*

J a' + iap+q J b*+*bp + q'>

J al-\-zap+q J b^ + ibp+q^

on peut même les représenter plus simplement par

, + f Ka — Q

J a'+zap+q °'>

en convenant que A sera toujours positive pour toute valeur impaire a=i, 3,5 n — î , et négative pour toute valeur paire

Ces équations sont d'une forme assez simple; cependant comme elles contiennent deux inconnues p et q, il ne paraît pas qu'on puisse les résoudre par une méthode analogue à celles que nous avons données pour le cas des racines réelles, qui n'offre qu'une inconnue.

Si donc on veut éviter les longueurs de l'élimination, par laquelle ou pourrait réduire les deux inconnues à une seule, il faudra se borner à résoudre ces équations par une sorte de tâtonnement, en ne supposant autre chose, sinon que q ou r* est compris entre des limites données, et qu'on a toujours p<\/q.

On pourrait ne trouver aucune solution pour les équations précédentes qui représentent le système (a); mais alors les deux équations semblables qui représentent l'autre système, dans la supposition que les racines imaginaires, c'est-à-dire leurs parties réelles, sont négatives, contiendraient nécessairement toutes les « racines

SECTION I. 4a5 imaginaires de l'équation proposée; de sorte que si la résolution ne réussissait pas dans un cas, elle réussira nécessairement dans l'autre.

On peut même ne point changer la forme des équations précédentes, et se contenter de changer le signe de />, ce qui reviendra au second système. En effet , la dernière forme («') , sous laquelle nous avons mis les équations à résoudre, en employant les inconnues p et q au lieu de r et 6 , n'a plus l'inconvénient remarqué dans l'art. 34, et les quatre fonctions

r Aa r a r B3 r b

Ja>—*ap+ç' Ja*—*ap+q' Jù' — ibp + 'q' Jb'—ibp+q>

considérées tant par rapport à p que par rapport à q , sont toujours des fonctions omales, puisque p doit toujours être renfermé entre les limites /?=o, p=\/q.

(36*) Supposons qu'après quelques essais on a trouvé des valeurs de p etq qui approchent de satisfaire aux équations (a'). Soient ces valeurs p=f, q=g> et supposons qu'elles donnent

f Aa 1 ~i~Jn'+za/+g — I1»

ji et v étant des quantités assez petites. Pour avoir des valeurs plus approchées on fera p=f+tf, qz=g + lg, et on aura pour déterminer lf et &g, les équations

Soit, ponr abréger,

4*6 APPENDICE, on aura

d'où l'on tire

alUf+G*g=z— a,

>r i Fit— Gv . Hw— Gu

Ainsi les valeurs corrigées de/? et y sont

^ i Fa— Gv

Hv— Ga + G'— FH '

Il faut observer, à l'égard des quantités F, G, H , qu'on a

faisant donc H = — g- F — a/G-f-v, et négligeant les termes qui contiendraient deux dimension» des quantités u et v, on aura

„/• . » Fa — Gv

a G'+a/FG+^F'' „ „ ^ + (gy + a/G)v\ 6 Vg-h-2/FG+^F'A

Ces valeurs serviront à leur tour à en faire connaître de plus approchées , s'il est nécessaire.

(37) Appelons de nouveau fetg les valeurs corrigées de p et q , on en déduira les deux racines imaginaires x—f-àz \/ {/* — g). Pour avoir ensuite les autres racines de la même équation , il faut former l'équation qui les contient.

Soient x—r, x=.r" les deux racines qu'on vient de déterminer,

il faudra dans l'équation proposée 1 4-^-^=0, remplacer le coefficient A par un nouveau coefficient

C'est en effet la conséquence qui résulte des formules de l'article 26;

SECTION I. 4*7 et comme on a (a 4- r') (a -+- r")=a' + zaf+g, la valeur de A, sera

Cela posé, la nouvelle équation du degré n — 2 à résoudre sera

et par la substitution x=pdz\/(p% — y), cette équation se partage ■eu deux autres, savoir,

r A, J a'+aap+q °*

Ces équations sont entièrement semblables à celles de l'art. 35, mais elles contiennent chacune deux termes de moins, puisque les valeurs de A, qui répondent aux valeurs n — n, a — n — i, sont nulles. Ainsi la dernière des valeurs de a sera n — 2 , parce qu'en effet l'équation à résoudre n'est que du degré n — 2.

(38) Au moyen de cette analyse, on forme avec beaucoup de facilité les diverses équations qui restent successivement à résoudre, à mesure qu'on trouve deux des racines imaginaires de l'équation proposée. lée procédé pour passer d'un système an suivant, consiste à supprimer deux termes dans chacune des deux équations du système, et à modifier les coefficients des autres termes suivant une loi constante. Ce procédé donne immédiatement le résultat qu'on obtiendrait en divisant l'équation proposée par le facteur correspondant aux deux racines trouvées, et mettant ensuite le quotient sous la forme qui convient à notre méthode.

Lorsque les opérations nécessaires pour obtenir les racines réelles sont terminées , et qu'il ne reste plus à résoudre qu'une équation de degré pair dont toutes les racines sont imaginaires, on est assuré d'avance que la résolution est possible. Si donc la recherche qu'elle occasionne devient longue par les tâtonnements qu'on ne peut guère

év iter , au moins elle ne sera jamais infructueuse. D'ailleurs à mesure que les opérations avancent, elles se simplifient progressivement par la diminution du nombre des termes qui devient successivement n — a, m — 4, n — 6, etc. , comme le degré de 1 équation; et lorsqu'on est parvenu à une transformée du quatrième degré, la solution peut être achevée sans tâtonnement.

(3q) La méthode que nous venons de développer est encore fort imparfaite; mais elle a quelques avantages particuliers qu'elle doit à la simplicité et à l'élégance des formules. Le plus considérable de ces avantages consiste en ce que , si Ion substitue différentes valeurs pour p ou q, afin d'en trouver qui satisfassent aux équations, la substitution se fait dans chaque dénominateur a' -f- iap + q , sans exiger aucune opération complexe.

Il n'en est pas de même lorsqu'en faisant x=r(cos.6-{-V/ — isin.O), on a à substituer une nouvelle valeur de r ou une de 0, dans les équations dont ces inconnues dépendent, art. 1 19. Ces substitutions exigent des opérations compliquées , surtout pour avoir les sinus et cosinus des multiples de 0 : ce premier avantage est déjà très-grand.

Il y en a un second qui n'est pas moins remarquable. Il consiste en ce que les deux équations à vérifier se forment simultanément d'une manière très-simple. En effet, si en attribuant des valeurs particulières à/? et q, on trouve chaque terme g , + + =±F(a), savoir,

+ F (a) si a est impair, et — F (a) si a est pair, la première des deux équations (a) étant ainsi formée,

on en déduit immédiatement la seconde qui est

SECTION I. 4a<> Il devient donc très-facile de vérifier les deux équations à la fois.

(40) Nous croyons avoir expliqué les méthodes précédentes av#ç assez de détails, pour qu'il soit superflu de produire des exemples de leur usage. Nous ferons seulement une observation générale qui pourra être utile dans les applications; c'est que si la grandeur des coefficients de l'équation proposée, ouïe calcul de la limite supérieure des racines , indique que ces racines doivent être de grands nombres, il conviendra de les réduire à une grandeur médiocre, en faisant x=mjr, m étant 10, 100, ou tel autre nombre qu'on voudra, au moyen duquel les valeurs dey ne puissent contenir que des unités ou des dixaines au plus. De même si les coefficients de l'équation proposée étaient tellement petits qu'on dût en conclure que les racines

sont beaucoup plus petites que l'unité, il faudrait faire et

prendre m de manière que la plus grande valeur de y pût aller jusqu'à un ou deux chiffres en nombres entiers. La transformation est utile dans le second cas surtout, pour éviter que les racines ne soient rapprochées dans un trop petit espace, et qu'on n'en omette quelqu'une dans les approximations successives.

(41) Nous terminerons ces Recherches par une remarque nécessaire pour compléter la résolution de l'équation omale e=ç(.r), donnée dans les art. 4 et suiv.

On a supposé tacitement, dans ces articles , que la courbe décrite d'après l'équation ^=ç(x), était toute concave ou toute convexe vers l'axe, dans la partie soumise au calcul, savoir, depuis x=o oux=&, jusqu'à x= r, r étant l'abscisse du point d'intersection M. Cette propriété en vertu de laquelle la suite te, k\ k'\ etc. est continuellement croissante vers la limite cherchée r, a lieu dans une infinité de fonctions omales, et notamment dans toutes celles dont on fait usage dans notre seconde méthode. Mais en général la définition des fonctions omales n'exige qu'une seule condition, savoir, que le

coefficient^ différentiel dV(x) conserve |e même signe dans toute l'étendue des x positives. Il peut donc arriver que le coefficient du

43o APPENDICE.

second ordre -~fër^ change une ou plusieurs fois de signe dans la

même étendue, et alors la courbe jr=tp(jc) éprouvera une ou plusieurs inflexions ou changements de courbure. Supposons, par exemple, qu'un changement de cette sorte ait lieu entre les deux points kr et k", ce qu'on reconnaîtra par les deux différences y(k') — c et ?(k") — c qui devront être de signes différents; si on continue les calculs d'après les formules des art. 4 et 6, afin d'obtenir la valeur du terme suivant k"\ on trouvera X"'<A:", de sorte que la suite k, k' , k", k'" cesse d'être croissante après le terme k".

Cependant si l'on a en même temps *'"> k\ on pourra continuer le calcul des termes suivants par les mêmes formules , et on arrivera également au résultat, qui est la limite des termes k", k'", k'% etc.

Mais il pourrait arriver qu'on eût A"'<X', et alors en continuant le calcul par les mêmes formules, on s'éloignerait de plus en plus du vrai résultat que l'on cherche. Pour obvier à cet inconvénient, le moyen le plus simple est de joindre les deux points k\ k" par une droite qui coupera la droite CM en un point dont il est facile de* déterminer la position. Soit k'" l'abscisse de ce point, on aura

et k'" sera une valeur très-approchée de la racine r. On continuera ensuite par les formules ordinaires le calcul des termes suivants

etc., et la limite de cette suite sera la racine cherchée.

En général les exceptions dont nous venons de parler ne se rencontrent que dans des cas où la résolution se simplifie d'elle-même, puisque sachant que la racine cherchée doit être comprise entre kf et k'\ il est facile ensuite de resserrer ces limites à volonté.

Section II. De quelques équations dont la propriété est telle qu'une racine connue sert à déterminer rationnellement toutes les autres.

(4a) JNous supposerons que la racine x étant connue, une autre

racine x' est déterminée par la formule très-simple x' = j^^,

où a, b,c sont des coefficients connus , cette propriété devant être

générale pour toutes les racines. Il faudra qu'en substituant

au lieu de x dans l'équation à résoudre , on retombe sur la même équation. Et la loi qui permet de déduire la racine x' de la racine x, permettra semblablement de déduire une troisième racine x" de x , une quatrième x" de x", et ainsi de suite , ce qui se fera par les équations successives

/ a-\-bx ., a+bx' ,„ a + bx"

~~ i + cx ' i+cx' ' ~ i +cx ' eiC-

Donc si Téquation proposée est du degré n , il faudra que la n'"" des racines x, x", x" . . . désignée par xw soit égale à la racine primitive x.

Voyons comment cette condition générale peut être exprimée analytiquement.

(43) Soit xk un terme quelconque de la suite x', x", x" . . . x>-'î, le terme suivant x*+« se trouvera par la formule

T+cx*'

Supposons x* exprimée par la formule £ où/? et q sont de la forme A -t- Bx et C+ Dx, nous désignerons en même temps x'-»- ' par ,

432 APPENDICE, et nous aurons

aq + bp

q' q + Cj> *

ce qui permet de supposer

p=aq + bp f/= q + cp,

et par suite

p' + ^q' — ^b 4- crfp + (a + u.)q.

Déterminons la constante |* de manière qu'on ait

et nous aurons

/+,*gr'=(* + cl0(/> + |if).

(44) Appelons la fonction 7, nous aurons ?(k+ i)=(* +

ou ,-£ii±il-= ; d'où l'on voit que chaque membre de cette

équation doit être une constante et qu'ainsi on aura

Si on appelle p! la seconde racine de l'équation a + jt= {b + c^t.) ^ on aura de même

/,+ 0,/=:A'(& + CfA')>. .

De là

Donc^, ou

Maintenant lorsque l'indice *=o, on a**=J, donc

H'A— pk' A/

et enfui

r,^'(x,-nx)(3+gFL)*-ti(x-htt,)(*+g|i/¥

~ {x + {L')(6 + CiL'/—(T + [L)(b+CV.y

(45) Il faut maintenant exprimer la condition x'=x, au moyen de laquelle l'équation donnée du degré n aura n racines x, x , x" . . .x{"~'\ qui forment une suite rentrante dont chaque terme xl se déduit du précédent x*~' au moyen de la formule

I* condition dont il s'agit se réduit en général à cette équation

Or en vertu de l'équation cp.' -f- (b — \)y. = a, on a les deux racines c|t=i^*-fi/[(i-è)- + 4«c]

Donc

£ + <>'=I±-' + 1 V/[(i — + 4 « c] * -I- C[t = l±*-il/[(i -ft)' + 4 a c].

Soit pour abréger R=|/[(i — £)' + 4ac], il faudra en général «mon ait

(46) Soit r n=3, cette équation donnera 3(i + b)' + ^ = 0, d'où résulte

1 + b + b% + ac—o.

Soit a" n = /», l'équation générale donnera (1 -+- b)' 4- R' = o , ou

1 +i' + aac=o.

Soit 3* «=5, on aura

5(i + *)4 + io(i+*)>R' + R«=o, U 55

434 APPENDICE, équation qui se réduit à la forme

o = rt'c' + ac(3 + bb + 3b') -h i +b + bx + bl+b\

ou

o=(aac+3 + 46 + 3è')*— 5(i +

On voit dans ces trois cas que II' est négatif, ce qui aura lieu généralement pour toute valeur de n. Car si R était réel , comme b est supposé l'être ainsi que a et c, il est visible que les quantités réelles i -4- b-\- R, i -+- b — R étant inégales, leurs puissances du degré n seraient inégales aussi.

(47) Puisque R' est négatif, on pourra faire

t--rl/[(i— + 4«c] = p(cos.O i sin.6),

ce qui donnera

p' = b — ac

eos.e = — -• a p

Cela posé la condition dont il s'agit exige qu'on ait

p"(cos.«0 + V/ — i sin.«0) = p"(cos.«ô — V/ — i sin.«6). Par conséquent cette condition se réduit à 1 équation

sin./iO = o, ou Q = — ,

i étant un nombre entier quelconque. Cette condition peut être mise sous la forme

(b — a c) cos.' —z=^(i + b)'-

Lorsque n = 3 , on a la seule valeur t — i , parce que i ne doit pas surpasser il s'ensuit cos. | = * , et la condition devient

o= I + b+ b' H- ac.

Lorsque /i = 4 , il faut faire encore i= i , ce qui donne eos.'^ = ^,

et la condition est

Lorsque n=5, on peut faire i— i et « = 2, de sorte qu'il faut que l'une des deux équations suivantes soit satisfaite,

Développement du 3e degré.

(48) L'équation de condition est i + b + b' + ac—oyou b — oc = (t + by=m.

L'équation x=^^ étant mise sous la forme (ex — b)(cx-\- i) = ac — b= — m, si on fait ex — b—y, ex -h i = z, ou

on aura yz — — m. Soit l'équation en x

x*—Ax' + Hx—C = o, elle devra être satisfaite en y substituant pour x les valeurs x =J~^ , de sorte que si on fait pour abréger cA=«, c'B^ê,

ê C = y , la substitution des deux valeurs de ex dans l'équation proposée qui devient alors

— «c*^' -i-Çcx — y=o,

donnera les deux équations

o = zi — (3 + a)z'+ (3 a« + ê)z — (i 4- a + € + <y) o=/ + (3fc— a)y+(3b'— zbx+fyy+V — b'*+bë — 7.

Maintenant comme on a yz= — m , si on substitue dans l'équation

en z la valeur z = — - , ce qui donne le résultat

o=?wî+(3 + a)TO'/ + (:i + 2«+6)m/,+(i+«+g + y)/1,

il faudra que cette équation s'accorde avec l'équation en y déj» trouvée.

(4g) Soit pour abréger M = ^ — b'a + b 6 — Y, et l'identité de ces deux équations donnera les trois équations de condition

mJ=M(i + «+ë + y) m'(3£— «) = M(3+aa+€) i»(36*— a*« + 6)=M(3 + a).

Des deux dernières on tire, en faisant M = m«N, et se rappelant que m * = i -+- h ,

3(*— N) /0 3(*, + N) a= i+N » 6— TTn '

Ces valeurs substituées dans la première donneront

et enfin substituantles valeurs de «, y, dans l'équation M = // * -+. b€—y = (i +byH, on aura pour déterminer N l'équation

NJ+i=o,

d'où résulte N= — i , car si on prenait pour N l'une des deux valeurs imaginaires données par cette équation, les coefficients de l'équation à résoudre deviendraient imaginaires, ce qui est un cas dont on peut faire abstraction.

(5o) Maintenant la valeur N = — i rendant infinies celles de « , 6, y , il faut en conclure que les équations du premier degré d'où on a déduit les valeurs de «, 6, y, ne sont pas indépendantes entre elles et qu'il y en a une comprise dans les deux autres, de sorte qu'il restera l'un des coefficients «,€,y indéterminé.

SECTION II. 437 En effet les deux équations

rrï (3 b — «) = M(3 +

m{5b' — a*«+fi)=M(3 + «),

dans lesquelles on substituera les valeurs M= — (i +b)\ m=(i se réduisent à la seule équation

d où l'on déduit

6=— 3(i + è)« = 3ac— (î —

ensuite on aura y= — i — et— 6— (i ou

Y= i — b*~ba.

L'équation cherchée Jx* — «c'a?' + 6 ex — y = o deviendra donc de la forme

o = cixs + 3c'ax — i + bJ — ot(c',r* + (i — b)cx — b),

où a reste indéterminé.

On voit par là qu'il y a une infinité d'équations du troisième degré qui sont telles qu'une racine x se déduit d'une autre racine x par la formule

x> a + bx

i+ex'

dans laquelle les trois coefficients a , b, c, satisfont à la condition i +b + b* + a c=o.

Les trois racines de cette équation , désignées par x , x\ x", seront donc telles qu'on aura

a+-bx „ a-\-bx' a — x X ----- — — ~" ~- . X- — — — — • i+ct' i -\-cx ex — b

(5i) Soit par exemple a— 3, b= — a, c= — i , l'équation cherchée sera eu général

o=x' — gx + g + *(x* — 3x a),

d'où résultent une infinité d'équations particulières , telles que

o=xi — 3>r' ■+■ 3

o = rs 3x' — i8x -h i5

etc.

Elles jouissent toutes de la même propriété , en vertu de laquelle une racine connue x sert à déterminer rationnellement les deux

autres x et x' par les formules x'= 3~ax j"— 3~'g.

(5a) Puisque l'équation du troisième degré à laquelle nous sommes parvenus, contient trois indéterminées c , b, a, il semble qu'on peut réduire à cette forme toute équation proposée du même degré telle que

o==xl — px' qx — r.

Pour cet effet il faudra déterminer les quantités a, b, c, par les équations

Et parce qu'on a a c= — i — b — b', si l'on fait pour abréger

ter—ri)'

on aura pour déterminer b l'équation

d'où résulte

b étant connu , on aura c et « par les formules

9r—pq r

Pour que la valeur de b soit réelle, il faut que n soit positif et < 4, conditions qui seront remplies si en faisant

H=p'q' — ^p^r-h i8pqr — 4?' — 27 r\

on a H > o.

De plus si , en supposant p,q,r rationnels , la quantité H est un carré, on voit que b sera rationnelle ainsi que c et «, de sorte que la formule