t-cx

donnera l'expression rationnelle de la seconde racine af par le moyen de la première x , et semblablement celle de la troisième x" par le moyen de la seconde x. Les trois racines seront donc rationnelles s'il y en a une qui le soit.

(53) Soit proposé, par exemple, l'équation x* -+- x1 — 6 x— 7 = 0, on aura p= — 1 , q = — 6, r=j , ce qui donne n = 3, b = — 7 ou

a. Soit d'abord b= — \, on aura c=(IZlW£=1*)= ■ ,

9r- Pi

x = cp = — , ac= — i — b — b' = — a = — Ainsi la racine x' se déduira de x par l'équation

Soit en second lieu b = — 2 , on aura c = 1 , a = — 1 , a = — r> et

Au reste cette solution revient à la précédente , car de celle-ci on

déduit af = ^3*~fr==~"3"~a'g> c'est-à-dire qu'au lieu de consi-

dérer les trois racines dans l'ordre x, x , x", on les considère dans l'ordre inverse x, x" yx.

4$o APPENDICE.

(54) Toutes les fois que la quantité H sera positive, les valeurs de a , b , c sont réelles; ainsi, en partant de la racine x qu'on peut toujours supposer réelle, les deux autres x et x" seront exprimées par les formules

, a + bx „ a + bx?

X i +cx' 1 i+cx' '

et |>ar conséquent seront réelles. Nous sommes donc conduits par cette analyse , à une démonstration très-rigoureuse de la propriété qu'ont les équations du troisième degré, d'avoir leurs trois racines réelles dans le cas irréductible. On a en même temps deux formules très-simples pour exprimer deux de ces racines par le moyen de la troisième.

Soit par exemple l'équation x* — 3*r' — io.r a4 = o, dont on sait d'avance que les racines sont a, — 3, et 4 ; les formules précédentes donneront b = — — , c= — a = — -, d'où résulte la

formule

, 3i6 — ia8a-

Soit x = a , on aura a/ = — 3; soit x= — 3, on aura x" = \. Développement du quatrième degré.

(55) L'équation de condition est i+i' + aac=o, d'où résulte

b — ac=;(i b)' = m.

Soit l'équation cherchée

o—c'.r*— acV + Sc"^ — ycx + i,

on doit y satisfaire par les deux valeurs cx—z — 1 , cx=y+b, ce qui donnera deux équations en y et en z , savoir :

o=/ + (4*— *)y + (6b>— 3*b+€)y+W-3b'* + 2bÇ-y)y

+bi—bi*+b'G—by + S o = z4 — (4 -t-«)2,-i-(6 -I- 3«-He)s' — (4-*-3* + a6-t-y)z

Et puisqu'on a z = — ^, il faudra rendre identiques les deux équations

o=>-«+(4£— a)/+(6A' — 3/»«+€)j,4-(4i,~3A'«+2^ê-Y)ri

Soit pour abréger h1 — i'a + i'Ê — £y + $ = m 'N, et on aura les quatre équations de condition

4^J — 36' a 2^6 — 7 = OlN(4+a).

Delà on tirera

46(aN+ i)— (N + a;

e 6iN'-f-(i — aS-M')?» -M']