TT + N- + 4N-M
Substituai! t ces valeurs dans l'équation b* — bl a -h b* 6 — èy -+- i = w* N, on aura pour déterminer N l'équation
qui a les deux racines réelles N = i , N = — i .
(56) La racine N= i donne » = — 2(1 — 6), 6 = 2(1 — b-i-b1), y = — i + b — b* + b* , i = -) ( 1 + b*)'. Mais l'équation qui résulte de ces valeurs n'est pas véritablement du quatrième degré, car elle n'est autre chose que le carré de l'équation du second degré
o = c' x' + (1 — b) ex + y ( 1 b*). II. 56
Il n'y a donc que la racine X = — i qui jmjsse donner nne solution; on en tire les valeurs
a = — a ( i — b) Ç = —Gb
Ces coefficients sont, comme on voit, fonctions île b seule; ainsi prenant b arbitrairement et déterminant a et c par la condition a c.~ — 7(1 + b') , les valeurs de a, 6 , y , î , que nous venons de trouver dans la seule hypothèse admissible donneront généralement l'équation
o = c*xi — ïcV + €c'x' — + 5,
dont une racine étant désignée par x, les trois autres x , x'\x" . seront données par les formules
, a + b x „ a-t-bx' 2a + (i> — i)x ,„ x — a
X i + ex' "r 1 -+ ex' 1 — b-\-icx ' '* b — ex
(57) Soit par exemple b = 3, a = — "», c= 1 , valeurs qui satisfont à l'équation 1 b1 + a a c ~ o , on aura l'équation
0=s=a?' — 4-e3 — iH.r* 4- Ha —7,
dont une racine étant nommée a , les trois autres .r', x",x", seront
, — 5-k-'.ix ,, x— .*> ,„ x-f-îi
Par le calcul numérique on trouve des relations entre les racines qui prouvent que l'équation proposée se décompose en deux dit second degré, savoir :
o — x' — Gx+i d'où résulte j=3±al/a o^x'r-ax — 7 x = — irfcaVa.
Voici l'ordre qu'elles suivent d'après nos formules .
1 = 3 — a V/a , x =»= -r- 1 — a l^a , 3 \- %\/ x , .t •"'= — 1 + al/a.
Dans cet ordre elles se déduisent chacune de la précédente comme il suit :
/ — 5 + Sx — 5 + ,„ — 5 + 3 x"
•i — , % »*' — 1 , 1 « jc — ■ — -, — , .1 — — .1'.
1 + X ' 1 + 3? 1 I -hX '
(58) En général l'équation à laquelle on est parvenu par la solution précédente, savoir :
0 = ^4-2(1 — by^—Gôc'x'—ii + $b—3b'—bi)cj
est le produit des deux équations du second degré o=c\r' — zbex — ~(i -h nb — b') o = c\r' 4- acr 4- j(i — 26—
dont les racines sont
cx=b±(i +b)\/\ cx=-i±(i +b)l/-t.
On n'obtient donc pour le quatrième degré que des solutions trèslimitées et qui n'appartiennent proprement qu'au second degré.
Développement du cinquième degré.
(59) Alors on devra faire b — «c=^(i 4- dbl/5)' = w, m ' =(1 4- b) p = I~aV^5 ou p.* — (*.= ! , et pour former l'équation cherchée que nous représenterons ainsi
0=CiXi — aC*X* + êc^X3 — y C'X' 4- $ C X — 1,
il faudra résoudre les six équations suivantes :
»i^N = 6' — ab' + èb'—yb' + ib — e (1)
m^ioi1— 46« + 6)=N(io 4- 6a 4- 36 4- y) (4)
10b1— 6b'* + 3bÇ— y=/n»N(io4*4cr4-6) (5)
(60) Des équations (4) et (5) on déduit 6 = — g — , en supposant
F=ioN(i— b + b') — io^(N* + ^) G = bN(i — b) — 4f*(N>— b)
Ïa?s mêmes équations donnent
^lo^ — ioaX(n-/;)— a[G6' + 4|t.\(i + £)]
Si on élimine * des équations (3) et (6) et qu'on mette (1 -+- £)V à la place de m~, on aura entre *, S et y l'équation
(, + *)^(5*a)-(.+*)yN(5 4-«)
= 5(i — b + fr— 6l)+-4a(i— £ + + 36(i— b) + a Y.
Substituant la valeur trouvée pour y, on aura entre a et 6 cette seconde équation
= 5(i — ab + 3*') — 20^l\ + 4a(i — 2^— 2^N) + S(3- a^N),
d'où en éliminant 6 et substituant les valeurs pt = p.+ 1, jx^ap 4- iT on tire la valeur dcjf, savoir:
Ensuite 6 se déterminera semblablement par l'équation 6 = — jy— , et on trouvera après beaucoup de réductions ,
— [*p-M*(l*+i)4-(4!*-f a)*']N'— (6j*-H)N* 5 (1 — N^K + a + ^+ON + ^ + aïN']
Substituant ces deux valeurs dans l'expression de y, on aura
Enfin l'équation ((>) dans laquelle on substituera les valeurs de a, 6, y
donnera la valeur de =, comme il suit :
(3v.+i)b*+(8+2ob + i8b' + 8bi+b*)'$ — (i + 8b + i8b' + 2obi + 8l>i)ïi' + 3* b + îo b' +iaA, + aA«)N~!*(a+ia*+3oi' + 3*6*+ i3A*)N'
— (3|x + a)NJ
La même valeur se trouverait plus simplement au moyen de l'équation (3) qui donne
(61) Il reste à éliminer e des équations (1) et (a) , ce qui donnera l'équation
(1 -f-£)y(N4-£)=i + b> + (t — + + V)y + {i+tyt.
Substituant d'abord les valeurs de a, C, y, $ dans la partie.. . . (1 — (1 + &*)ï:-t-(i — b')\ 4- (1 4- A) ^,011 trouve qu'en faisant
pour abréger b •+- a b% + itf + è4 = B , cette partie se réduit à l'expression assez simple
(3ti+a)B(n-N + N')4-(3|x4-3)aK(i4-*5)-HBN(i9->-3ia) (3j* + a)(i + N')-|-(4,i-M)N
L'inconnue qui reste à déterminer étant N, il convient de faire 1 4-N'=ÇN et la quantité précédente deviendra
Cette quantité doit en vertu de notre équation, être l'équivalent de
; ( i ■+■ by (i.4 C — { ( i + ; on aura donc pour déterminer Ç l'équation
(3fi-+-2)^(£+/>)1î:'-(3(A + 2)(i +4>)Ç(4|1 + i)(,+y)
+ (4jA-4-i)(n-6)V5ï = 5ft4Bî;+ iO(t*(i -t-^) + 5B({t4 + 3i |i + 19).
Mettant à la place de 5 B sa valeur ( 1 + bj — 1 — bs , le second membre deviendra
^K(l +bf+ IO^(l 4-^)4-(ix» + 3l^-H — ( 1 £s) — ( ^ + 3 1 p + 1 9) ( 1 -f bs) ,
et on trouve que lequation se réduit à cette forme très-simple ,
d'où résulte r=~l^x/j. Ces deux valeurs deÇétant moindres que
a, l'équation N' -+- 1 = N Ç ne donnerait que des valeurs imaginaires de \ qui doivent être rejetées. Mais il faut observer que le facteur 1 — N qui se trouve dans le dénominateur des valeurs de a, 6, y, a disparu dans la suite des opérations, et qu'ainsi ce facteur égalé à zéro doit satisfaire à l'équation finale. Il nous reste donc à examiner la valeur N = 1.
(6a) Alors les valeurs de «, é,y,*,e, deviendraient infinies, ce qui prouve que ces quantités ne peuvent pas être toutes déterminées, et qu'il en reste nécessairement une d'indéterminée, comme nous l'avons déjà expérimenté dans le troisième degré.
Prenant donc a pour cette indéterminée et faisant N= 1 , on trouvera que toutes nos équations sont satisfaites par les valeurs suivantes des coefficients « , y, S , • ,
I /= — 10(1 +b + b')— + vtb + b')
1 g* =; 2 + ib
/' — io iob*+ iO(t(j 4- b — b' — b1) g'= — — ji(a + 4£ + a£')
3 IO£-5£' + 5*,+ io£*-f 3A1 —^(5+15^+10^—10^— i5£4— 56> $ + 3£' + ^ + fi(3* + 4^ + a*1)-
=T+ér
(63) D'après ces valeurs on aura I équation générale
0=^— ac«^ + (Z+^ayx3— C^+^at)^.^ C J +(/"+é/'*)^-(r" + ^'"a),
qui jouit de cette propriété que la racine x étant connue , une seconde racine x' sera exprimée par la formule
a-\-bx i + cr '
et la même loi aura lieu entre deux fermes consécutifs de la suite des cinq racines x , af, x", x", de sorte que la racine connue serv ira à calculer les quatre autres racines d'une manière rationnelle.
Les trois nombres a, b, c/que nous supposons réels, doivent satisfaire à l'équation £— a<?s=(i + p eUnt une racine de
l'équation — p. — i =o; ainsi on peut prendre à volonté pour «. l'une des deux valeurs 7(1 +1/3), ;(i — 1/5).
(64) On pourra aussi faire cc= 1 sans diminua la généralité des
résultats, ce qui donnera la formule x'=a~*~%bx . En effet, c élant ' * » + *
pris à volonté, si on fait cx=y, ac—d, l'équation
deviendra y ~ -jz+rf • Ainsi l'équation en x se ramème immédiatement à une équation en y où Ton a c—t.
On peut donc supposer que le type des équations du cinquième degré qui jouissent de la propriété mentionnée est réduit à la forme
Et on voit qu'il y a une infinité d'exemples à produire de cette classe d'équations, puisque même en supposant c = i , il reste deux indé- , terminées « et b auxquelles on peut donner telles valeurs qu'on voudra. Le choix d'une valeur de b, combinée avec l'une des deux valeurs de p., détermine immédiatement tous les coefficients f, g, /', g y etc. qui ne dépendent que de b et de p.; on a en même temps la valeur de a, savoir :
on a donc ainsi le type général d'une infinité d'équations du cinquième degré qui ont leurs cinq racines réelles , pour toutes valeurs des indéterminées « et b.
(65) Soit par exemple a = i , b= i , m. = — - — , on aura l'équation
qui étant multipliée par 9 + 4 1/5, prend cette forme
(10) o = A(xi—x*) — 5Bx3 + Bx, + n5x—it
où l'on a
A= 9+41/5, log. A= 1 .2539a 584i5 h— 10 + 41/5, log. B= 1 .27747 79186.
Si l'on procède à la résolution de cette équation on trouvera la plus petite racine
d'où résulte la seconde racine x'== ^ ^dans laquelle n=5 — 2 1/5
= o . 52786 4o45o oo4s. On formera donc ainsi les quatre autres racines et de plus la cinquième qui devra coïncider avec la première XV
x = x-^£ = — 0.47041 37653 x"=^=-i.885oi 46492 (11) *"'=^= 2.7a637 i4742 x**="~~= 0.58998 61 i5o x* =^^"= 0.03907 o8a55=x,
et par ce dernier résultat les calculs précédents sont confirmés de la manière la plus satisfaisante.
(66) L'équation particulière du cinquième degré dont nous venons de nous occuper , peut être résolue algébriquement par une méthode semblable à celle dont nous avons fait usage pour résoudre l'équation en p du § V de la cinquième partie. C'est ce que nous allons faire voir avec tous les détails que mérite une solution dont il n'y a encore d'exemple que dans les équations relatives à la division de la circonférence.
Nous avons à résoudre l'équation
o=xs — x4 — 5x* -l- x* — x^** — ^ — 25x -»-<),
dont la propriété est telle que ses cinq racines étant désignées par v, x', x",x"', x", on a entre deux termes consécutifs de cette suite rentrante , les équations de forme semblable
> x—n „ x'—n ,„ gr"—n jçT'—n x"—n
