II

45o APPENDICE.

clans lesquelles n ~ 5 — 2 1/5 = o. 52786* 4o45o 00420 G072.

Soit R une racine imaginaire de l'équation R5 — 1=0, pour laquelle on peut prendre R = cos.fi +|/ — isin.p. et p. = "=72*. Nous supposerons, conformément à la méthode citée,

T=,r+Ra;'+ RV-t- R V" + R4a" T = x + R>x' + RV+ R«.r'"+ R\r",

et faisant T'= M T', on prouvera aisément que M est une fonctioir de R seule, indépendante des racines x, x, etc. En effet la loi qui existe entre deux racines permet d'exprimer d'une manière linéaire, les carrés et les produits deux à deux des racines, ce dont on va bientôt s'assurer; il en serait de même des puissances plus élevées des racines et de leurs produits de plusieurs dimensions.

On peut donc supposer que le carré du polynôme T sera représenté par la formule

T' = aX + <>x'+ fx"+ $ x" +tx",

dont tous les coefficients sont fonctions de R, et où il n'entre point de terme sans .r , car si un terme constant C se trouvait dans la

valeur deT', on pourrait, à la place de ce terme, mettre

C(*r -+- x'+ x"+ x"'+ .r") , puisque la somme des racines de l'équation proposée est égale à 1 , coefficient du second terme. Maintenant comme on peut donner à T la forme

T=R(.r'-*- Rx'+ R'x"+ R\r" + Wx),

il est visible que le carré de ce polynôme sera égal à R* multiplié par ce que devient la valeur précédente de T' lorsqu'on avance d'un rang les lettres x , a/,a:", x"\ x'\ en regardant la première comme suivant la dernière. On aura donc aussi

T»=R,(«*' + èx" + Ya/"+ S x"+ tx).

Comparant cette seconde expression à la première, on en tire 6=*R>, y=«R4, $=aR% « = «R*, et par conséquent

T'=«(x+RV+R'/+ RV+ R'x"),

ce qui prouve que la quantité désignée par M est la même que «, et qu'ainsi elle est fonction de R seule. Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de cette quantité, mais d'abord il faut faire voir comment on peut trouver l'expression sous forme linéaire, des carres des racines et de leurs produits deux à deux.

(67) Reprenons pour cet effet les deux équations

, x — n „ ad — n jt(i — n) — a n

on en déduira immédiatement les valeurs linéaires des produits de deux racines, comme il suit :

xx —x — x — n xx" =?~?(x — x") — n

xx"=x"—x —n x"x' = i=^(x"— x')— n.

Il conviendra cependant de remplacer, conformément à l'observation déjà faite, le terme — n de ces formules par son équivalent — n (x -t- x'+ x"+ x"+x").

Supposons qu'on ait trouvé semblablement pour valeur linéaire de x* la formule x* = ax + bx'+ cx"+ dx"'+ ex", d'où résultent les cinq expressions

a?1 —ax \-bx' + ex" + dx"'-\' ex" x'1 =ax' + bx" + cx"'+dx"+ex (i3) x">=:ax" + bx"'+cx"+dx -h ex' x'"'=ax"'+ bx"+ ex -h dx + ex" ax"+ bx 4- ex + dx" 4- ex1",

45a APPENDICE.

il deviendra très-facile de trouver le coefficient M au moyen de l'équation T*=MT'; en effet M ne sera autre chose que le coefficient de x dans la valeur de T' réduite à la forme linéaire, sans aucun terme constant.

Or dans l'expression de T' on trouve d'abord la partie xl 4- R»x" 4- K*x " 4- RV" 4- R'*"- ,

dans laquelle le développement des carrés donne pour coefficient de x la suite

a+eR' + dK* 4- cR* 4- bR*.

Ensuite la partie comprenant les produits des ternies pris deux à deux , donnera dans M les termes suivants dans lesquels on a désigné provisoirement par (a^x*) le coefficient de x dans le produit développé XY-X*:

a R (x Xe) + a R' {x x") 4- 2 R3 (x x") 4- a R* (* x") 4- a Rs (x'x") 4- 2 R\x'x'") + *RS *") + aRJ(/x"') + 2Rt(*"x") + a R' (*"'*■').

Substituant au lieu de chaque symbole (jrcx')sa valeur donnée par le tableau (i 3) et réunissant cette seconde partie à la première déjà trouvée, on aura *

M== a + eR'4-rfR* + cR4 + *R'

— /t(aR + aR' + 4R5 + 4R*+4Rl + 2R'+aR0