aR — 2R4 + ^=^(2R'— aRJ
Pour réduire cette quantité, j'observe que R devant être imaginaire, on peut mettre à la place de R l'une des racines R . R1 , RJ , R1 , mais non Rs qui serait égale à l'unité; dès-lors on peut toujours supposer o= i 4- R 4- R* 4- R1-*- R4, ce qui réduit à zéro le coefficient de — n; on aura donc plus simplement
M = a 4- e R' 4- d R< 4- c R« 4- b R1 U4} 4- aR— aR< 4- (i — n) (R»— RJ).
Ainsi tout se réduit à trouver la valeur linéaire de a? qui fera connaître celle des coefficients a , b, c, d, e.
(68) Nous avons x'=^-^=i — ^l±i^; pour convertir cette
valeur en une fonction entière de x, il faut diviser par x + i l'équation proposée
o=Axs-Ax4-5(A + i)x,-f-(A+ t)x' + a5*— i, on aura pour quotient
o = A(x*— a**) — (3A+5)*'-f-(4A + 6);c-i-i9— 4A+4£=i?. I^e dernier terme de cette nouvelle équation
= 4^°=i^f0(I-^=8(a+l/5)(i-x')==(aA--a)(.-a?').
On aura donc en divisant tout par A et substituant au lieu de A sa valeur 9 + 4l/5,
o = xK — a x3 — (48 — ao 1/5) ar* + (58 — a4 1/ 5) x -h i5i — 681/5— 8(1/5 — a)x'.
En second lieu on a l'équation x"=^~=— i + 2-±i y et en <ji visant l'équation proposée par x — î , on en déduit
o=A^— 5(A-m)^— 4(A + i)x + ai — 4A-f-^^.
Mettant au lieu du dernier terme sa valeur * ^+ + x") , et divisant tout par A , on aura
o=x*— (5o— aol/5)x"— (ao— i6i/5)* + 169—761/5
Une troisième équation se tirera delà valeur x" — x'~n — 1 ~n
et on obtiendra ainsi les trois résultats suivants :
o = ar4— a x* — (48— 20 1/5} a? + (58 — 24 1/ 5}* + i5i — 68 1/5 — 8 (1/5— a)*'
o=au — (5o — 20|/5)a?' — (4^ — 1 G 1/5) a- + i6q — 7j>l/5
Il ne s'agit plus que d éliminer de ces équations les termes xi et x\ et on aura la valeur de x' sous forme linéaire, laquelle sera
Ensuite au lieu du terme constant 22 — 9l/5, il faudra mettre sa valeur (22 — 9 y/5) (a? + x'+ x"+ x"'+ x") , ce qui donnera
Si cette équation est appliquée successivement aux carres x' , o;"' , x'"\x"*, et qu'on fasse la somme de toutes on aura
fx' = (101 — 4°l/5)y.r = 10 1 — 4o 1/ 5. En effet la somme des carrés des racines de l'équation proposée o=xs— x*— 5(i + i)*3— etc. , est 1 + Io(AA+ï)= 10+ io(g-4t/5) = iûi — 4° 1^5* (69) La valeur de x* étant connue, on aura les coefficients
a = ai— 81/5 fe = ai— 8l/5 c= 18 — 7J/5
f — 1 9 — 8 1/5 qui étant substitués dans la valeur de M , donnent (i5) Ms=Q/5— i)R-(6— ay/5)R'— (2j/5— 4)R — (i+l/5)R*.
Cette formule donnera non-seulement la valeur de la fonction , M , mais encore celles des fonctions M', M", M"', qui se déduisent de M en mettant successivement R',111, R4 à la place de R.
Soit maintenant M = r (cos. 6 + 1/ — i sin. 0) , si on substitue cette valeur et celle de R = cos.jt 1/ — isin.p.) dans l'équation (i5), on aura pour déterminer r et 9, les deux équations
rcos.9 = (l/5 — i)cos.|*. — (6 — 2l/5)cos. 2a — ('il/5 — 4)cos. 3*
— (l + 1/5) COS. 4* = — aCOS.ft 2COS.2|i = 1
/• sin. 0 = (l/5 — i ) sin . p. — (6 — 2 1/5) sin. 2 u — (2 1/ 5 — 4) 3 u.
— (i+l/5)sin.4u=2l/5sin.*-4-(4l/5 — io)sin.2{i..
Delà on tire
r'=i2G — 5ol/5=i4- 19660 1 1260 io5i5 18
1 s il'
cos.ô = ~ , tang.9 = 5«(l/5 — 2)* = 5<(2eos.u)*
log. r = 0.57609 2190 1 725 1 log. cos. 8=9. 4^390 78098 2749 log.tang.6=o.56o23 io45o45io log. sin. 6=9.98413 88548 7259
Si dans la valeur de M on met R* à la place de R ou 2 ^ à la place de (x, on aura la valeur de M' = r'(cos.9' + l/ — 1 sin.O'), d'où l'on déduira
/•'cos. 6 = (1/5 — i)cos. api— .(6— al/5) cos. 4 — (al/5 —4) cos. <>tx
(l 4- 1/5) COS. 8 {* = — 2 COS. u — 2COS. 2u = 1
r' sin. e' = (1/5— 1 ) sin. 2 a — (6 — 2 1/5) sin. 4 p — (al/5— 4) sin. — (1 + 1/5) sin. 8 p= 2 1/5 sin. 2u-*- (10 — 4l/5)sin.u.
La valeur r'sin.ô' se trouvant être la même que celle de rsin.ô, puisque r'cos.6' est égal aussi à rcos.6, on en conclut que r' — r, et 0/=0; par conséquent M'= M.
Si Ton met encore RJ à la place de R, ou 3a à la place de M
se change en M", et faisant M" = r" (cos. 8" V — « sin. 8") , on auva
r"cos. 8"= (|/5 — i)cos. 3 — (6— a 1/5) cos. 6 jt— (al/5— 4)cos. 9^ — (i + l/5)cos. ii|i= — acos.aj* — acos.jx=i
r"sin.0"=(l/5—i)sin.3,i— (6—31/5)5^.6^— (al/5—4)sin. 91* — (1 +l/5)sin. iajt=(4V/5 — io)sin.ft — al/5sin.2|A — — r'sin.8'=— rsin.e.
Donc r" = r et 6"= — 8, ce qui donne M" =r(cos. 8 — 1/ — 1 sin. 8) et par conséquent M"M'=r\
Enfin si on met R4 à la place de R ou 4 p à la place de fi, on aura la valeur de Mm=r"'(cos.8'"-t- 1/ — 1 sin. 8"'), au moyen des équations
r"'cos.ô"'=(l/5— i)cos.4|i— (6— a|/5)cos.8{t— (aV/5— 4)cos. 1 aj* — (1 + 1/5) cos. i6jt= — 2c0s.pt. — acos. ap = 1
r"'sin.6"'=(l/5— i)sin.4jt— (6— al/5)sin.8(i— (aV/5 — 4)sin.iapi — (14- 1/5) sin. i6(t=(io — 4V/5)sin.a(t — 2 1/5 sin.jx = — rsin.8.
Donc r"=r, et 8'"=— 8, par conséquent
M"'=M"=r(cos.e— V/— 1 sin.8) et M"'M = r\
(70) Il faut procéder maintenant à la détermination des fonctions T, or l'équation T' = MT\ jointe aux trois autres qu'on en peut déduire, forme la série
