T*=MT, T"=M'T", T"-=M"T, T""=M"'T

d'où l'on tire les valeurs des quantités T',T",T"', en fonctions deT, savoir :

rwv T' rrvi/ T" T* r™ T" T'

La dernière donne T l=MiM'*M""M " = r«M», ou plus simplement Ts = r'M,==rï(cos.38-*-l/--i sin. 38); soit donc y=«, et on

aura

T = r (cos. *« -+- 1/— 1 sin. »).

Ainsi on voit que les fonctions M et T, ainsi que toutes celles qui en dérivent, ont le même module r, ce qui est une propriété fort remarquable. On aura en particulier

T =r(cos. <a + V — isin.w) T = r[cos.(a«» — Ô)+V — isin.(a« — 6)] T"= r[cos.(4«— 36) + V— 1 sin. (4*, — 3e)] T" = r [cos. (3 « — 2 e) 1/ — 1 sin. (3 « — a e)].

Il résulte de ces valeurs qu'on a les deux équations

(17) TT"=r\ T"T=r\

propriétés analogues à celles des fonctions M , puisque nous avons déjà trouvé

MM"=r'=M'M".

(71) Il ne reste plus qu'à trouver la valeur d'une racine quelconque x; pour cela il faut faire une somme des cinq équations

i=x + x'+ x"+ x'"+ x" T =x + Rx,+ R'x'+Ri x"+R*x" T =x + R'ar'+ RV+ R6 x"+ R* x" T'=x + RV+ RV+ R' x"+ K"x" T"=x + RV+ R'x"+ R"x" -t- R'6*" ,

et on aura par les propriétés connues de la fonction R ,

Mais les valeurs trouvées donnent T + T"=arcos.i», et T+T* = arcos.(a«— e), donc

x— g + ^ [cqs. u + cos. (a » —e)].

D'après un premier essai fondé sur les valeurs approchées de r, 4 il. 58

et w, on trouve que cette formule désigne la plus grande racine positive x"; et si on met <o + p au lieu de *>, la même formule désignera la plus grande racine négative .r"; on aura donc les cinq racines de l'équation proposée ainsi exprimées :

x"= 1 + ^- [cos. » + cos. (a w — 8)]

x" — ç-h-çr [COS. (w + fi)-4- COS. (2<a+ 2(1 — 6)]

x + y [cos. (*»-+- 2|i) + cos.(a» + 4|t — 0)]