VIF

**'T=5 + [cos. (w -t- 4 ft) + cos. (a» -4- 8fi — G)J.

Maintenant pour calculer les valeurs numériques de ces racines, nous prendrons dans les résultats précédents les données nécessaires, comme il suit :

= 26 — 5oV/5) '

tang.'6 = 25V/5(t/5— a)

= 5"»'(acos. jjiV = a5/?

log. r=o. 57009 21901 72r)i log. cos. 6=9. 4a3<jo 78098 2749

log. tang.Ô = o.56oa3 io45o45io log. sin. 6 = 9 . 984 1 3 885^8 72D9

(72) Avec ces données nous allons faire le calcul de la racine x. Soit pour abréger a = [t — -} 8 = 3'4'4i". 5ooi8 46606, si on observe que cos.(w -4- 3j*) + cos.(2w + 6|i — 8)=sin.« — sin.3«= — 2 sin. a cos. 2 a, la formule à calculer sera

1 4rsin.etcos. a« ^ = 5 5 >

or a étant un angle fort petit il conviendra d'appliquer la formule

SECTION H. 4% log. sin. a = log. <z — pa'—p'a* — p"a6— etc., dans laquelle

log./> = 8.85963 30609 17, Iog.//= 7.38251 18062, log./>"=6. i85a3 125,

on trouvera

log. sin. a = 8 . 72996 44848 ooo33 ;

etparcequelog.cos.2et=log.(i — 2sin.'a)=:~ mp^i +f +^+etc), en faisant p = 2 sin.* a , et log. m = 9 . 63778 43 1 1 3 , on aura

log. cos. 2 a = — 0.00251 18783944»,

de là et enfin

log. (4 rsin . a cos. 2 a) = 9 . 90560 47879 0609 4 r sin. « cos. 2 « = o . 8o464 58725 5856 ,

D'après cette valeur de x on trouve celles des quatre autres racines au moyen des formules algébriques propres à la question , savoir :

et semblablement de la valeur de x" on déduirait celle de x au moyen de la formule

x = TT^ = 0 • o39°7 o8a54 8829.

Cette valeur est la même qu'on a supposée , cependant si on ajoute les cinq racines on trouve que leur somme excède l'unité de 23 unités décimales du quatorzième ordre. Cet excès s'applique aisément par l'erreur des tables à i4 décimales dont on a fait usage, erreur qui influe sur la 1 3e décimale dans les valeurs de x" et x"\ composées de

4<>o APPENDICE.

1 5 chiffres significatifs. Mais d'ailleurs il est facile de faire disparaître l'excès dont il s'agit en corrigeant d'une quantité très-petite la valeur que nous avons attribuée kx; supposant que cette valeur corrigée soit x + dx, on trouvera aisément, par la loi qui existe entre deux racines consécutives, les corrections à faire aux autres racines, ces corrections sont:

dx — . ' +" dx =dx(i . i4>5) dx" =JT^ytlx' =dx{7.7io5)

dx"'={J^ytlx'' — <lx{^-0^'i)

dx-=1^yidx"=dx{i .6544).

Il en résulte dx + dx' + dx"+ dx"'+ dx" = dx{tf>. 54a6); donc pour faire disparaître l'erreur -+- a3 dans la somme des x , il faut faire </«(a6. 54ati)= — a3 , ce qui donnera

dx = — o.8665, = — 0.9891, </*" = — 6. 68i4 rfa?w=— i3.oa93, </*•" = — 1 .4336,

ou en nombres entiers

dx= — 1, dx= — 1, dx"— — 7 , dx"'= — i3, dx" = — 1.

Ou aura donc finalement

x = 0.03907083548828 x = — 0.47041 376537778 x" = — 1 . 885o 1 46493 9007 «r"= 2.73637 i4"4î> 5oo4 x"= o . 68998 6 1 1 5o ag53

valeurs dont la somme est égale à l'unité.

(73) Dans la théorie qui vient d'être développée , nous avons choisi une formule très-simple pour exprimer la loi suivant laquelle un terme quelconque de la série des racines se déduit du terme pré-

cèdent. Supposons maintenant qu étant proposée l'équation

o = xT — ( i ) aT* ■+■ (a) x-' — etc. ,

dont le degré n est un nombre premier, les racines forment une série x , x , x ... a^*~,) , dans laquelle chaque terme soit une fonction rationnelle quelconque du précédent, en sorte qu'on ait

et de plus x = 9 (x(m~l)) afin que la série soit rentrante et qu'on puisse prendre un terme quelconque pour le premier terme.

La fonction y(x), quand même elle serait fractionnaire, pourra toujours se réduire à une fonction entière, c'est-à-dire à un polynôme en x qui ne surpassera pas le degré n — • 1 , puisque l'équation proposée donne le moyen d'éliminer x" et les puissances supérieures à x*. Ainsi on pourra supposer

x=A+ Kx + Cx' -+- ltX*~' ,

A,B, C. . .L étant des coefficients connus, et la substitution de cette valeur à la place de x, dans l'équation proposée, donnera n équations de condition entre les coefficients de la valeur de x, et les coefficients de la proposée.

Si dans la valeur dear' on met x. à la place de.r, on aura la valeur de x" exprimée en fonction de x'; mais ensuite on pourra mettre la valeur de x enx, et l'expression de x" deviendra une fonction entière de x, où l'on peut éliminer la puissance x* et les puissances plus élevées, de sorte que la racine x" sera encore exprimée par un polynôme en x du degré n — 1 . Il en est de même des autres racines, d'où il suit qu'on pourra former les n — 1 équations suivantes qui déterminent les racines x\ x" . . .xi*~') en fonctions de la première x :

x =A +Bx + Cx' + Dx* + IiX"-

x" — A' -f- B'x + CV + D'x* . . . . + L'a-'x'"=A"+ K"x+ CV + D'à.1. . . . + L"*~

>=a{— >+B'— ^-ho-'U'+d'— >x\ . . +r/~ u— .

46a APPENDICE.

Réciproquement de ces équations on peut déduire les valeurs de

r, x\ x* af~x exprimées d'une manière linéaire par les racines

x, x", . . .•r*"-''. La valeur de x est inutile à chercher , puisqu'on sait d'après l'équation proposée, quelle doit être (i)— x— x"— x'"... — ar<— >; mais il importe surtout d'avoir la valeur de x' que nous mettrons sous la forme

x' = ax + ùx'+cx" + dxm . . . + Ixf— ,],

dans laquelle il n'y a pas de terme constant; car si un pareil terme c" en faisait partie, on pourrait mettre à sa place

Maintenant il est facile de voir que les produits de deux racines xx', xx", x'x", etc. et en général les produits de plusieurs racines ou de leurs puissances, s'exprimeront d'une manière linéaire par les racines simples, comme on vient de le faire pour x'. D'ailleurs il est évident que la valeur connue de x', donne celle des autres carrés x'1 , x"' , x'"' , etc. en avançant successivement d'un rang les termes compris dans l'expression du carré précédent; cequ'on pourra pratiquer également pour la valeur de xx' qui donnera celle de x' x"y x" x'", x'" x" , etc. , et semblablement pour les autres produits.

(74) Sans. entrer dans d'autres détails, on voit qu'en désignant par R une racine imaginaire de l'équation R" — 1 =0, et en donnant aux fonctions T et M , et à leurs dérivées T', M', T ", M", etc. les mêmes significations qui ont été employées dans toutes nos recherches, on aura d'abord l'équation T' = M T', qui en fournit plusieurs autres semblables telles'que T'' = M'T", T"*=M"T\ etc. , ensuite la valeur de M sera donnée par une fonction de R, d'où l'on

déduira également celles de M', M", etc. Soit en général

M = r(cos.Ô + 1/— isin.6), M'=r'(cos.6'+ \/— 1 sin.8'), M"= r"(cos.e"+l/— isin.ô"), etc., toutes valeurs qui seront connues par le moyen d'une seule et même formule ; on déduira de là toutes les valeurs de T,T,T",etc, désignées en général par

T(i} = p{*' (cos. + \/ — i sin. w(<)) ; on déduira en particulier les modules pdes modules r, par les équations p'=rp', p'^r'p'", p"'= r"p', etc. ; et s'il arrive que tous les modules r, r , r", etc. soient égaux entre eux, on aura pareillement p=p' = p"=p"'. . . =r. Enfin connaissant toutes les valeurs de T,on aura une racine quelconques de 1 équation proposée, au moyen de la formule générale

(i) + 2 pcoa.to-f-a p'cos.u' H-2p"cos. w"+ctc.