QUATRIÈME PARTIE

§ I V. Métfvode pour trouver le diviseur quadratique qui renferme te produit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés.

(358) Problème I. « jLtant donnés deux diviseurs quadratiques « a , A', d'une même formule f + au', trouver le diviseur quadra- « tique qui renferme leur produit A A'. »

Nous distinguerons deux cas, selon que les diviseurs proposés sont de la for me ordi nùrepy* + 2 qyz + r z% ou de la for me py* -+- qyz +rz', dont les coefficients sont impairs.

Premier cas. Soit A =pf + zqyz + rz' et A'= py" + 2.q'fz +r'z'\ nous supposerons que les coefficients p et p' sont premiers entre eux , ou que du moins ils ont été rendus tels par une préparation convenable. Cela posé, si l'on fait py ■+■ qz=x, p'y* ' + q z' = x , on aura />A=x* + az%p' ti=x''+ az''7 donc

pp A A'=s (xx' ± a z z'y + a (x z ^. af z)\

Mais puisqu'on veut que le produit A A' soit contenu dans un diviseur quadratique de la formule t'+ au'; puisque d'ailleurs ce produit, considéré en général, doit contenir le produit particulier pp , on pourra supposer AA'=/>// Y' -♦- 2 9 Y Z -t- ^ Z* etpp'ty — ce qui donnera

pp A A' — (pp' Y + 9 Z)' 4- a Z*.

Comparant cette valeur à la précédente, on aura

pp Y -l- 9 Z = x x' do a z z

7, = xz' =px z.

Mettant au lieu de a sa valeur pp'ty — 9', la première de ces deux

a8 THÉORIE DES NOMBRES,

équations donnera

pp'Y = (a'±çz) (af — «pz')±/?/>'|zz';

et en substituant de nouveau à la place de x et x' leurs valeurs py+qz et p'y + q z , on aura, après avoir divisé par pp'.

Cette quantité doit être un nombre entier; indépendamment de toutes valeurs de z et de z', il faut donc que et ? ? soient des entiers. Soit en conséquence

9=pn=pq=pn+q'; (a)

on pourra toujours déterminer n et «' par l'équation pn^f.q=p'ri y', puisque /> et />' sont premiers entre eux ; on aura ainsi la valeur de 9 ,

laquelle donnera un nombre entier pour 4» = * *• Car ayant

y=pn ^zq,etq* + a—pr, il s'ensuit que 9* + a est divisible par p; ayant de même y=p'ri + q' et q * + a=p'r\ il s'ensuit que 9' -+■ a est divisible par p'; donc puisque/? et /?' sont premiers entre eux, il faudra que y' + a soit divisible par pp'.

Les nombres n, ri , 9 , 9 étant déterminés comme on vient de le dire, si l'on fait

Y=(r±»x)(y— ri*)±i,zz'