QUATRIÈME PARTIE
Mais il ne peut en avoir plus de deux. En effet , on peut supposer les nombres p et p' premiers l'un et l'autre ; et le diviseur quadratique, quel qu'il soit, qui renferme A A', sera toujours de la forme PPY + *9fz -+- yz" , où l'on a ç* -»- a =pp'ty. Mais lorsque les nombres p etp' sont premiers, il n'y a que deux valeurs de 9 moindres que \pp\ qui rendent 9" + a divisible par pp. Donc il n'y a au plus que deux diviseurs quadratiques différents qui renferment le produit A A'. Je dis au plus , parce que dans quelques cas particuliers, les deux diviseurs quadratiques réduits à l'expression la plus simple, pourront coïncider en un seul , lequel contiendrait A A' dans deux combinaisons différentes. Cela doit arriver, ainsi qu'on en verra un exemple, lorsque la formule t' + au1 ne contient qu'un seul diviseur quadratique correspondant aux formes linéaires dans lesquelles pp est compris.
(36o) Second cas. Si le nombre a est de forme 8n + 3, et qu'en conséquence le diviseur quadratique A, qu'on supposera impair , soit de la forme pf -+- qyz -4- rz", dans laquelle les coefficients p, q , r sont impairs, et où l'on afrpr — ^' = a, on pourra encore faire usage de l'analyse précédente, pour avoir le produit A A'. En effet , comme on a z\=ipy* + 2qyz+zrz\ 2\'=ïp'y' + 2q'y'z' + 2r'z'\ il suffira de mettre dans les formules trouvées a/> et a r à la place de p et r. On aura donc, pour déterminer net n', l'équation
pn—p n' — \ {q' ± q) ; (b)
d'où on déduira les valeurs de 9 et <j», savoir <p=zpn=pq , $ =
Faisant ensuite Y = (/ ± n z) (y — ri z ) ± ^ zz> » Z = (zpy + q z) z' q= {*p'y+ q'z')z, on aura
4AA' = 4^Y'-i-2ÇYZ+9Z-.
Or on voit que Z étant toujours pair , on peut mettre a Z à la place de Z, et alors si l'on fait de nouveau
Y = (y±. nz) (y — riz) dcifzz Z = py z T p'/ z + -,{q =f 7O z z' ,
3o THÉORIE DES NOMBRES,
le produit cherché sera
AA,=/y>'Y, + çYZ + yi\ Exemple I.
(36 1 ) Soient proposées les deux, formules A= i + 1 0/2+ a i z1, ti'zs-yy + îfz'-¥ 3ox'% lesquelles représentent deux diviseurs quadratiques de la formule t' + 269 u\ Pour avoir le produit A A' exprimé par une formule de même nature, j'observe que les coefficients i4 et 9 étant premiers entre eux , on peut, sans aucune préparation, appliquer à cet exemple les formulesdu n*358. Faisantdonc p=i^, q—5 , p'~ç), q'—i, on aura l'équation i4«=f5=9«'+ i » laquelle donne deux résultats différents , selon qu'on prend le signe supérieur ou l'inférieur.
i* Avec le signe supérieur, on aura «=3, «' = 4 , 9=37, += i3, de sorte qu'en faisant
Y =7/ + 3 zy — \yz + zz'
Z «= 1 4 y z' — 9 y 2 + 4 zz ,
le produit cherché sera
AA'=ia6Y'+74YZ+ i3Z\
2" Avec l'autre signe, on trouve «=i, «=a, 9=19, + =5; donc en faisant
Y =yy —zy' — zyz'—Zz z Z = 14/2 +92/ + 622',
le même produit sera de nouveau
AA' = ia6Y' + 38YZ + 5Z\
Maintenant, pour réduire ces produits à l'expression la plus simple, il faut faire, dans le premier cas, Z=U — a Y, et dans le second,
QUATRIÈME PARTIE. 3i Z=U — 4 Y, ce qui donnera finalement ces deux résultats:
| TJ = aj/ -h Gjrz — 3yz + 6zz' (,) Y=r/-h3/z-4jz' + z2' ( AA'=i3U'-i- aaUY + 3oY\
' {] = ^yy'+ 5yz + 6jz' — 6zz' (a) Y =yf — y z — lyz — 3zz' AA' = 5U*— aUY + 54Y'.
Exemple II.
(36a) Soient proposés les diviseurs \=y* +yz + 4» *\
A'=/' 4-/z'-t-4i z'',tousdeux appartenants à la formuler i6'Su'. Pour avoir leur produit exprimé d'une manière semblable, on suivra les formules du n° 36o, lesquelles donneront les deux résultats que voici :
Y =yy + zy + zz (i) Z=jz'-/z
AA'=Y, + YZ + 4iZ'
(a) Z==yz'+/z+zz' aa' = Y' + YZ + 4iZ-
Dans les deux cas, le produit est de même forme que les deux facteurs; et en effet il ne peut être de forme différente, puisque la formule f+ î63w' n'est susceptible que d'un ^eul diviseur quadratique.
(363) Problème II. « Trouver le produit de deux diviseurs quadra- « tiques semblables A—py*+zffyz + rz\ a'= py'+zqy z + rz'.»
On pourrait, par une transformation, réduire ce problème an précédent; mais il est plus simple de procéder à la résolution directe de la manière suivante :
Soit py+ qz=x, py'+qz' =x' , on aura
AA>'=(x' + az')(x'' + az") = (xx±azz'y \- a (xz'zpjfz):
3a THÉORIE DES NOMBRES.
Si dans les signes ambigus du second membre on prend le signe inférieur, et qu'on remette les valeurs de x et x1 ainsi que celle de «, on aura xx + azz'=p'yy' + pq(yz' +y'z) + przz' , et... xz — x'zz=p(jz' — y z); d'où l'on tire, après avoir divisé par p' ,
AA' = (/?/y+ qy~ + qy z + rzz')'+ — /s)'.
C'est la première valeur du produit A A' laquelle est de la forme y + a z\
Pour avoir une seconde valeur de ce produit, supposons
A A'= /»' V ' + 2 9 Y Z -+- | Z' , et à l'ordinaire p' — <p' = a ; nous aurons AA'/?* = (/;,Y -h çZ)'-f-oZ"; de sorte qu'en comparant cette valeur 'à la première, on aura
Z=xz'~fx z p'Y + yZ—xx'±azz ,
.substituant dans la dernière équation la valeur de a , ainsi que celles de x , x' , et Z , on en tire
v= 0 + *f* *) (y + ± * sz<.
"Donc pour que Y soit entier, indépendamment de toute valeur particulière de z et z', il faut que 2^L? et 2 — 2 soient des entiers; de là
on voit que dans les signes ambigus on doit prendre seulement le signe inférieur; c'est pourquoi faisant +pn> on aura
Y = (y—nz){y' — nz') — tfzz 'l'—p {y* +y«) + 2 q z z'.
Mais il reste à déterminer n de manière que y soit un entier: or on
a y = ^ = ^i^!^^=^±i^+^Doncsironcherche P P P
les plus petites valeurs de m et n qui satisfont à l'équation
