QUATRIÈME PARTIE

toutes les conditions seront remplies; on aura f=q+pn, «|»=m-4-n% et le produit demandé sera dans sa seconde forme ,

AA'=/?' Y' + a^YZ + ^Z'.

(364) I/équation r—pm — aqn, dans laquelle m et n sont des indéterminées, sera toujours résoluble tant que p et a q seront premiers entre eux; elle le serait encore, si p et aq ayant un commun diviseur 6, r était aussi divisible par 6. Ce cas cependant importe peu à considérer, ou même doit être entièrement écarté, parce qu'alors la formule py* *qyz -f- rz* ne pourrait représenter que des nombres divisibles par 6.

Enfin il peut arriver que p et q aient un commun diviseur 9, lequel ne soit pas-commun avec r; alors l'équation r—pm — nqn serait impossible. C'est ce qui aura lieu dans les deux cas ci-après.

i* Si a est divisible par 6 et non par 0*, car alors p divise bien t* -h a u* , mais /?' ne peut diviser cette formule qu'en supposant que t et u ne sont pas premiers entre eux.

a" Si 6 étant diviseur commun de p et q , les nombres pet a sont divisibles par 6' ; car alors l'équation p r — q' — a pourrait avoir lieu, sans que r fût divisible par 8. Dans ce cas, une simple transformation du diviseur py* + nqyz + rz* préviendrait la difficulté; ou bien , comme ce diviseur est alors de la forme p'b*y'+ zq'byz + rz\ tandis que la formule qu'il divise est t* + a' Vu*, on peut mettre jà la place de Qy , et u à la place de 0 u , et on aura p'y* •+- zq'yz ■+- rz* pour diviseur de f + a'u*. Or dans cette dernière forme, il n'y a plus lieu à difficulté.

(365) Si le nombre a est de forme Sn + 3 , et qu'en conséquence les diviseurs quadratiques proposés soient &=:py* + qyz + rz* , tf—py* + qy z' -+- rz.* , on trouvera par une analyse semblable à la précédente, deux formes du produit A A'. La première qui se présente immédiatement est

AA'=Y' + YZ + }(«+ r)Z% II. 5

où l'on aura

Pour avoir la seconde forme, il faut chercher les moindres valeurs de /« et « qui satisfont à l'équation

r=pm — qn.

Faisant ensuite les constantes ç = «y ■+• 'ipn, ty—m ■+• n' , et les indéterminées

V = (y — n z) (y — nz) — i(ZZ 7j=p(jrz' +fz) +rjzz';

on aura

AA'^'Y' + f YZ + ^Z*.

(366) Il est manifeste que le problème général qu'on vient «le résoudre comprend, comme cas particulier, celui où il s'agit de trouver le carré d'un diviseur quadratique donné. Mais alors le produit n'est susceptible que d'une seule forme; car ayant^z — y z = o, la première valeur de A A' n'est pas de la forme d'un diviseur quadratique.

En général , puisqu'on peut exprimer le produit de deux diviseurs quadratiques donnés, égaux ou inégaux, par une formule de la même espèce, laquelle est aussi un diviseur quadratique, il s'ensuit ipi'on pourra toujours trouver un diviseur quadratique égal au produit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés.

Et si on s'occupe seulement de la forme des produits, sans s'inquiéter de Ja valeur des indéterminées qui y sont contenues , le problème devient beaucoup plus simple, puisqu'il suffit d'opérer sur les coefficients , lesquels n'offrent qu'un nombre de combinaisons limité.

Ayant donc désigné , par exemple , par A , B , C , D , etc. , les différents diviseurs quadratiques qui conviennent à une formule donnée t' + au' , on cherchera, par les principes précédents, quelles doi-

QUATRIÈME PARTIE. 35 vent être les formes des différents produits deux à deux A A, AR, AC, BB, etc. Si l'on trouve que le produit AB peut être à-la-fois

de la forme C et de la forme D, on écrira A B= j^, et ainsi des

autres. Or on conçoit que les produits deux à deux étant trouvés, on en déduira aisément les produits trois à trois , quatre à quatre , etc.; de sorte qu'on connaîtra en général les diverses formes du produit qui résulte de tant de diviseurs quadratiques qu'on voudra.

Dans cette notation , il convient de distinguer BB de B' ; l'expression B B désigne le produit de deux diviseurs quadratiques semblables à B, mais dont les indéterminées sont différentes; l'expression B' désigne le carré du diviseur B , et suppose par conséquent que les deux facteurs B et B sont identiques, tant dans les coefficients que dans les indéterminées; cette circonstance apporte une modification au résultat, car nous venons de voir que B' n'est susceptible que d'une forme, tandis que BB en a toujours deux. Une pareille différence se fera sentir dans les expressions BBB, B'B,B\ et autres semblables : il est donc nécessaire de chercher à quelle forme doit répondre une puissance quelconque d'un diviseur quadratique donné. C'est l'objet du problème suivant.

(367) Problème III. « Étant donné un diviseur quadratique A de « la formule f + au*> trouver le diviseur quadratique de la même « formule , par lequel la puissance A" puisse être exprimée. »

Premier cas. Soit le diviseur donné A=/?j* -+- zqy* + rz*, et supposons, pour éviter toute difficulté, que ce diviseur a été préparé de manière que le coefficient p est un nombre premier non diviseur de a.

On peut d'abord démontrer qu'il n'existe qu'un seul diviseur quadratique dans lequel A" puisse être contenu. En effet, quel que soit le diviseur quadratique qui contient A", il devra contenir p\ Or on a déjà prouvé (n" a34) que p étant un nombre premier , la puissance p' ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadratique. Donc il n'y a aussi qu'un seul diviseur quadratique qui puisse contenir A".

Cela posé, puisqu'on a pr=q' 4- a , si l'on fait en général..

(q + \Z~a)' = F + G \/ — a , (q — V — a)" = F — G \Z^~a , on aura Y + a)" ou prr' = F' -4- «G'. Or je dis que G et p sont premiers entre eux , car si G était divisible par p, F le serait aussi d'après la dernière équation. Mais on a

F n.n — i n.n — i.n — a . n — 3 . , =Y —f >a+ r^3-i .tf '«'-etc.,

et si on néglige les multiples de p, on aura

„=-?.|etF=:9-(i+-rr-+ +etc.)=sa- Y-

Donc^, et par conséquente, serait divisible par p, ce qui est contre la supposition.

Puis donc que G et p sont premiers entre eux , on pourra faire F = <j»G+/?"H,çetH étant des indéterminées, et en substituant cette valeur dans l'équation p"r" = F' + «G1, on en conclura que ?" + a est divisible par p", et qu'ainsi on peut faire <p* -+- a—p'ty.

Ayant déterminé de cette manière les quantités ç et 4», on aura le diviseur quadratique p"\' + 29 YZ-4- <|»Z*, lequel appartient à la formule V + a u\ puisqu'on a p'ty — Ce diviseur est celui qui contient généralement la puissance A", puisqu'il contient le nombre/;"; mais il faut voir comment on déterminera Y et Z en fonctions de y et *.

Soit donc A-=/?*Y'-i-a<pYZ + |Z*,ou Vpm=(j>'X + çZ)* + «Z*: on a d'ailleurs à p ~(py -\-qz)'+az''y donc si l'on fait py-¥ qz—x, p" Y -\- f Z = X , on aura X' + a Z' = (x1 + a Or on satisfait généralement à cette équation , en prenant X+Zl/ — a=(x4 z\/ — «)■, d'où l'on tire

X. n.n— i , „ n.n — i.n — a.n^3 . . , = c" jtT-'az'-i . . x'~ia'zi— etc.

I* valeur de Z est déjà exprimée par une fonction entière de x et