QUATRIÈME PARTIE

§ V. Résolution eti nombres entiers de l'équation

Ly* -+- Myz -4- Nz' = bll, n étant le produit de plusieurs indéterminées ou de leurs puissances.

(ày\) Soit LN — jM' = a, si M est pair, ou 4I'N — M'=a, si M est impair ; il est aisé de voir que le premier membre de l'équation proposée sera un diviseur quadratique de la formule V ■+- au\ et cette équation elle-même étant multipliée par L ou 4 L, deviendra de la forme f + «Ji'=cn, c étant Lb ou ^Lb. De là il suit que tout facteur de n doit diviser la formule V + au\ et par conséquent pourra être représenté par un diviseur quadratique de cette formule. C'est de ce principe , et de la théorie exposée dans le § précédent , que nous déduirons la solution générale de l'équation dont il s'agit; mais d'abord il convient de débarrasser le second membre du facteur constant c.

Si dans l'équation P-f- au' = cII,on suppose t et u premiers entre eux , il faudra que u et c le soient aussi , et alors on pourra iàire /=«h + cj, ce qui donnera , après avoir substitué et divisé par c,

"' + afltt't + cx'=n.

Or u et c sont premiers entre eux , donc il faut que n' + a soit divisible par c, et en faisant n' + a=mc, on aura

m n'.-i- u nu x + câ? = Tl >

équation dont le second membre est dégagé du facteur constant c, et dont le premier est encore un diviseur quadratique de la formule t' a u% , puisqu'on a m c — n' = a.

On aura donc autant de ces équations à résoudre., qu'il y aura

de valeurs de n , moindres que \ c, telles que «' 4- a soit divisible par c.

Soit /V" 4- 2gyz 4- hz'=n lequation ou l'une des équations qui restent à résoudre. Le premier membre étant un diviseur quadratique de la formule» V 4* au', il faudra d'abord' chercher tous les diviseurs quadratiques de cette formule , que l'on désignera par les lettres A , B, C, D, etc. Ensuite comme II est supposé le produit de plusieurs indéterminées, on cherchera, par les méthodes précédentes, toutes les formes auxquelles se réduit le produit II , en supposant que les indéterminées sont représentées par les lettres A, B, C, D, etc. , suivant toutes les combinaisons possibles , et en observant que différentes indéterminées peuvent être désignées par la même lettre. Cela posé, parmi toutes ces formes on distinguera celles qui donnent pour résultat la lettre correspondante au diviseur quadratique du premier membre^* 4- 2g,Yz 4-/* s'; et il est clair qu'autant on trouvera de ces formes, autant il y aura de solutions de l'équation /y + igyz -\-hzx — n. Il faudra ensuite, pour obtenir réellement les solutions, faire lé développement successif des produits suivant 1rs règles que nous avons données dans le § précédent , et alors les indéterminées^ et z s'exprimeront finalement en fonctions des indéterminées analogues qui entrent dans les différents facteurs du produit EL Tout cela s'éclaircira suffisamment par des exemples.

Exemple I.

(372) Soit proposée l'équation V 4- 4' «'= 1 i3.r' ; je développe d'abord tous les diviseurs quadratiques de F4-4»"'-. lesquels, comme on l'a déjà vu (n°369), sont

A =j' 4- a yz 4- 42 z' D= 3 y 4- 2 yz -+- 1 4 *' U — vy 4- 272 4- 21 z' F, — Gy 4- 2) 24- -z'. C = 5j1 4Gjs+ 102*

Parmi ces diviseurs, il n'y a que A , B, C qui comprennent les nombres 4« 4 1 , et dans lesquels on pourra* trou ver 11 3. Or si le divi-