QUATRIÈME PARTIE

seur Acontenait i faudrait que 1 13 fïït de là formule r + 4i u\ ce qui n'a pas lieu , comme on le voit au premier coup'd'œill, pareillement si le diviseur B contenait n3, il faudrait que a x 1 1 3 ou 29.6 fût delà forme f 4 i «' ; c'est encore ce qui n a pas lieu. Comme cejiendant on peut voir, par le caractère (^j)= i , que 1 13 est diviseur dc£' + 4' m*, il s ensuit que 1 1 3 est nécessairement compris dans le diviseur quadratique C; et en effet on a 5. i i3=5G5=i4,+4< -3'. Puisque i4*-*-4< .3J est divisible par 1 13, sil'on fait i4=3« — j i3/w, il faudra que n'-f- 4' soit divisible par 1 13. Or la valeur devi tirée de cette équation est rti=— 33. On connaît donc ai nsi y d'fthe ma1niène directe et presque sans tâtonnement , te valeur de' n> qui rend n* -+- 4 « divisible par 1 1 3. Cette méthode , que nous venons d'exposer avec quelque détail, est un développement de celle du n° 188.

Cela posé, soit £ = 33» -»- i i3f', on aura, après avoir substitué et divisé par 1 i3, . • W\ ! , .

vo«î-f 66wfv ■+- i.r3/tf=±:jr\

Pour réduire le premier membre à une expression plus simple, soit u=u' — 3t,on aura

. 5<Y + Gtfu -+- iouu=,x\ .

Le premier membre étant de la. forme G r il faut diorcherparmi les valeurs de A', B'r etc. celles qui peuvent ètjtcvde la forme C; or on trouve (n* 3GoJ que D' et E' sont de cette, forme ; <kmc l'équation proposée est susceptible de deu& solutions, selon que l'on supposera x = D ou x = E. i ,i.>U;

Soit i° x=z3y+ ajz + i4z'> ol> trouvera par les formules du n* 3G7, x»=5Y,'+ 6YZ-fio7/, les valeurs de Y et Z étant. . . Y=— y + f\yz + Gz', Z=/' -f- ajjs— 4*% de sorte qu'on aura en même temps t ' = Y , »' = Z.

Soit a° x~Gf + %yz + jz\ le résultat de cette seconde valeur pourra se déduire facilement du précédent (en mettant -xy à la place de y, et divisant par 2 tant la valeur de x que celles de Y et Z) ; on aura ainsi x'= 5Y' + G YZ + ioZ', Y = — ny + Qyz + 3z', Z= 271 + 2 yz — 2 »*■, et on ftra de nouveau Y= Y , «' = Z.

4<i THEORIE DES NOMBRES.

Il reste à substituer les valeurs de t' et u' dans celles de t et u; ce qui donnera les deux solutions suivantes de l'équation proposée.

Tz=Ç>yx + iYz+ 7Z\ t=38y+i*njrz — a4*\«=8y — ioyz — i iz'.

Exemple II.

(■iy3) Proposons-nous maintenant 1 équation t* 4- 4* «'= 1 i3x\ L'opération préliminaire pour diviser chaque membre par n3, étant faite comme dans l'exemple précédent , on aura i=33«' + i4*'> u ~ u — 3 f\ et la transformée sera

r)t't' + i\t'u + iouii=x\

Il faudra donc chercher les différentes formes des quantités A\ B', CJ , etc. , et voir si lu forme C y est comprise. Or on trouve (n" 369) que la forme C ne peut résulter que de CJ; ainsi l'équation proposée n'est susceptible que d'une solution.

Maintenant si on fait x = C = r)y -h 6yz + ioz' , on trouvera,

d'après les formules du n° 367, 9 = ±47» +==18 et

.r'œ ia5Y,dr94YZ'+ 18Z'. Quant aux valeurs de Y et Z, elles doivent être déduites des équations ia5Y±47Z=:aJ — ia'3xz', Z = 3 x' z — 4 1 °î* *'on a x — X ■+■ 3 z ; or pour que Y soit une fonction entière, on trouve qu'il faut dans les signes ambigus prendn; l'inférieur, et alors on a

Y + ioy z + 3oj2' — 8 z1

x,= ia5Y1~94YZ + i8Z\

valeur de x' se réduit à l'expression la plus simple

5f'f'+ 6t'u'+ iou'u en faisant Z=3Y — u' , puis Y = ^ -4- a//,

de sorte qu'on aura a' = 3Y — Z—3y + \5yz — ioz1,

f'=aZ — 5Y= — 5y + Sojrz' -+- iarJ. Donc enfin la solution de

l'équation proposée est comprise dans les formules

jc = 5j' -+- 6 j z + ioz'

t =. zgy3 -+- 49.5 f z -4- 4ao^r' — 1 6a z*

u— \%y>+ i5j»z— yoyz' — 46z\

Exemple III.

(874) Si on propose en général l'équation t' ■+- 2«'= ii3aj", la manière la plus simple de la résoudre, est de faire x=y + az', ii3=a/ + a.4'; et on aura t% + aw*=(9* •+- a. 4') (.7* + a*')" ^ on satisfait généralement à cette équation , en prenant

Soit donc {y + z\/— a)r =Y -t- Zl/— a , on aura f + 1< |/~ a= (9±4l/- a)(Y + Zl/— a), partant

C'est la seule solution dont l'équation proposée est susceptible , parce que a?, comme diviseur de f + au', ne peut avoir que la seule forme y* + a**.

Exemple IV.

(3J5) L'équation f+ 8ç)u'=x*y doit avoir deux solutions, ainsi que nous l'avons déjà remarqué à la fin du n° 370. L'une des solutions où l'on aura x=y'~t- 892', se trouve immédiatement par l'équation t' -+- 89//' — {y* + 89*')J, à laquelle on satisfait en faisant t 4- u\/ — 89 = (j-4- z\/ — 89)J;et ainsi on aura t =yi — 367^ z», u — Zy*z — 89 z1. La seconde solution, fondée sur ce que D'=A, se trouvera comme il suit.

Ayant fait j-=D=5j* -+- uyz -t- 18 z'; si l'on applique à ce cas particulier les formules du n° 367, on aura p= 5, 7=1 , r= 18,

? = 6, ty= i , ce qui donnera

or,= i25Y,-l- laYZ + Z" Y=y — 3y"z — 137.2* -+■ a *' Z = -f- 3oyz* — 86 x\

Or on peut mettre la valeur dessous la forme x'=(Z+6Y)'-»- 89V', laquelle étant comparée à 1 équation proposée, donnera f=Z+ 6 Y, u — Y ; donc enfin la seconde solution de cette équation sera donnée par les formules

x.= 5y* -4- 2yz + i8z'

Exemple V.

(376) On a déjà remarqué (n° 370) que l'équation f + 89//' = x\v doit avoir sept solutions, attendu que la forme A résulte des sept combinaisons A'A, B'A.C'D, D'D,E'B, F'C, G'C. Pour développer une de ces solutions, prenons la combinaison C* D , et faisons en conséquence .r=9/+ 272+ 102', x = 5/1 -+- 2/2'+ 182", on trouvera d'abord par les formules du n* 363, on par celles du u* 367,