T + 2TV+,8V

T=j* — 8/2 + 2Z' \ = -j.y + iyz — 22*.

Si ensuite on multiplie la valeur de x' par celle de x' on trouvera par la première des deux formules du n* 363,

*^=(5Ty+TV+V/+ i8VzO'-4-89(T2'-V/)\

Comparant ce résultat avec l'équation proposée f* + 89 u'=x'x', on aura

t =5Ty+Tz' + V/+ 18V2' M=TV V/;

d'où l'on voit que les quatre indéterminées t, u,x,x sont exprimées en fonctions de quatre autres indéterminées indépendantes y > z>y > *'> ce n°i constituera la première solution. On trouvera par des calculs semblables les six autres solutions dont I équation proposée est susceptible.

Remarque. Pour peu qu'on y fasse attention , on verra que cette théorie s'étendrait facilement au cas où le premier membre de l'équation proposée serait un diviseur de la forme /'<—««'. On pourrait aussi résoudre, par les mêmes principes , les cas où les indéterminées du premier membre seraient supposées avoir un diviseur commun; mais nous n'avons pas cru devoir entrer dans tous ces détails, qui n'offrent maintenant aucune difficulté.

§ V T. Démonstration d'une propriété relative aux tliviseurs quadratiques de la formule t' + au', a étant un nombre premier 8n -+- i.

077) 0 n a déjà remarqué , n* a 1 7 , que si dans la formule V ■+■ a u\ a est un nombre de forme Su -+- 5, deux diviseurs conjugués de cette formule, tels que py* -+- 2qyz +- amz'y 2 py*-*- %qyz + tnz' , appartiendront toujours l'un à la forme !\n + 1 , l'autre à la forme 4/* 4- 3; de sorte qu'alors il y a autant de diviseurs quadratiques 4^-1- 1 que de diviseurs 4«+ 3, et ce résultat a lieu quel que soit le nombre a, pourvu qu'il ne sorte pas de la forme 8n + 5.

Au contraire, lorsque a est de la forme 8 n + 1 , les deux diviseurs conjugués dont il s'agit sont tous deux de la forme /\n •+• 1 , ou tous deux de la forme 4« + 3 , de sorte qu'on ne peut plus rien conclure sur le nombre relatif des uns et des autres ; et en effet l'inspection de la Table IV fait voir qu'il y a à cet égard une grande irrégularité. Mais lorsque a est un nombre premier, on remarque dans cette même Table que le nombre des diviseurs quadratiques \n + 1 surpasse constamment d'une unité le nombre des diviseurs 4^+3. Ainsi on voit que la formule t' -f- 4 1 «' a trois diviseurs quadratiques 4" + 1 , et seulement deux 4« + 3; que la formule f -+- 8g m' a quatre diviseurs quadratiques 4 n -h 1 , et seulement trois 4 « + 3 , etc.

On s'assurera aisément de cette propriété dans beaucoup d'autres cas particuliers; mais il n'est pas aussi facile de l'établir d'une manière générale et rigoureuse. Voici la série de propositions que cette démonstration semble exiger : elles offriront en même temps divers résultats remarquables qui contribueront à étendre et perfectionner les théories précédentes.

(378) Proposition 1. a Soit a un nombre premier 4« 4- 1, et soit