QUATRIÈME PARTIE. 5i

«r py* + zqyz + amz' l'un des diviseurs quadratiques 4'» -4- i de « la formule V -#- au',jedis que l'équation W—py* -4- a^z^a/w*' « sera toujours résoluble. »

Car si Ton multiplie cette équation parp, et qu'on fasse py+qz^x, on aura p\]'=x* + az*y équation toujours possible (Voyez n" vj et 198).

Il est inutile d'observer que si py* + a qyz +am2* était un diviseur t\n -t-3, l'équation \}'c=zpy* + nqyz+ amz* serait im|>ossible, puisqu'aucun carré ne peut être de la forme 4» -H 3.

(379) Proposition II. « « étant un nombre premier 8n -f- 1 , la « formule ? + aul aura toujours un diviseur quadratique de la forme

Car on peut toujours (nw 149) satisfaire à l'équation rt=a/*— laquelle étant posée, il s'ensuit que /y1 + *gyz -4- a/V, ou l'expression la plus simple de cette formule, est uo diviseur quadratique de la formule f+au\

Remarquez que le diviseur /y* -4- igyz+ o.fz% ne diffère pas de son conjugué; dans ce cas, par conséquent, les deux diviseurs conjugués se réduisent à un seul qu'on peut appeler diviseur singulier.

(380) Proposition III. a a étant un nombre premier 8/1 4- 1 , il « y a toujours une infinité de valeurs de/ et de g qui satisfont à a l'équation nf — g>=a, néanmoins il n'en peut résulter qu'un a seul diviseur quadratique de la formule t + au\ »

Car on trouvera aisément (n* 38) que la série des valeurs de y et g qui satisfont à l'équation a/* — g*s=af est telle que si/* et g' suivent immédiatement fet g, on a

De ces nouvelles valeurs résulte le diviseur quadratique singulier

(3/+ *g)y + a (3fr + 4Ar* + a (3/+ zg)*>.

Or si dans ce diviseur on fait y=tiz' — y\z=zy — z (ce qui ne restreint pas la généralité des variables et «), on aura pour traiw-

5a THÉORIE DES NOMBRES.

formée//* agy-V-f-a/V'; d'où l'on voitqu'en effet le diviseur quadratiqueyy" ■+■ 2g'yz + of s' n'est pas différent àe/y* -+- ag^z 4- o.fz'.

Corollaire. De là il suit que a étant un nombre premier 8« -4- 1 , les diviseurs quadratiques de la formule £* -+- seront composés de plusieurs couples de diviseurs conjugués et d'un diviseur singulier. Le nombre total de ces diviseurs sera donc toujours impair, et ainsi il est impossible que le nombre des diviseurs 1 soit

égal au nombre des diviseurs 4 + 3.

(38i) Proposition IV. « I^e carré d'un diviseur quadratique « py* +%qyz-i-2Tcz\ et celui de son conjugué a py' -f- %qyz + * sont « compris dans un même diviseur quadratique p'f -f- tyz*. »

Car suivant la méthode du n° 363 , si l'on détermine p. et v par l'équation — ^v, qu'ensuite on fasse f =7 + v/?, <|»=v'-*-3|x,

Y=y — 2v z — a|is', Z — nz [py + qz), on aura

(^•+ *qyz + 3***)*=:^' Y' + 2?YZ + $Z\

Dans cette équation, qui doit être identique , mettons zyk la place dej, et comme alors Y devient pair ajnsi que Z, faisons Y = aY\ Z=aZ', ce qui donnera Y'=zy' — avjz — ^z', Z'=z(tipy + qz)\ nous aurons par la substitution , et après avoir divisé par 4 >

( ip y* + a qyz -+• * z')' =/?*Y',-4- a? Y' Z' + * Z''.

Donc le même diviseur quadratique p'y' + 2.yyz+ tyz' , qui contient le carré du diviseur/?^ -f- ay/z + auz', contient aussi le carré de son conjugué zpy* -+- %qyz + itz'.

Corollaire. Étant projx>sée l'équation U'=PY' + aQYZ-i-RZ',

si on en connaît une solution comprise dans la formule

U =py* + 2qyz +2itz'} il y aura toujours une autre solution donnée par la forme conjuguée \]=apy-\- a qyz -\-r.z'. Ces deux solutions se confondent en une seule , si la valeur de U est égale au diviseur quadratique singulier , c'est-à-dire si l'on a V =/y*+agyz+2/z'; mais alors le second membre de l'équation proposée serait de la

forme a Y' + aYZ -f- Ç—1) Z'.