QUATRIÈME PARTIE

(38a) Proposition V. « pétant un nombre premier, ainsi que a, « si l'on a/?' =M* +<ïN', je dis que p ou ap sera nécessairement « de la même forme t' + au', de sorte que p appartiendra soit au « diviseur quadratique y' -+- ayz + (a+ i)z* soit à son conjugué

En effet, l'équation supposée/?' = M* +aN\ donne/?'— M'=aN'; donc puisque a est un nombre premier, il faut qûe l'un des facteurs p + N,p — M soit divisible par a, et comme le signe de M peut être prisa volonté, on pourra faire p + M = aP,/? — M = Q,ce qui donnera PQ=N'. On on satisfait généralement à cette dernière équation , en faisant, avec de nouvelles indéterminées, P=ic'R, N=ito)R, Q = w,R. On aura donc 2jp=flP + Q=R(«,+ûn')1 d'où l'on voit que R ne peut être que i ou a : si R = a , on aura p — u' -\- a -K* ; si R= i , on aura a/? — «* + a w\ Donc p ou ap est nécessairement delà forme f+a u\ Mais si/? est de la forme ï'+aa', il est contenu dans le diviseur quadratique./' + az\ qui est le même que .y1 -f- zyz + {a+ i)z', et il ne peut par conséquent appartenir qu'à ce seul diviseur. De même si a/? est de la forme P + au\p

appartiendra au diviseur quadratique ny* -h zyz +• z' ' et

il ne pourra appartenir qu'à ce seul diviseur. Donc si on a

jD*=M'-H oN', il faudra que p appartienne à l'un des diviseurs

conjugués y* -+■ lyz + (a -f- i) z' , -if + ajz+ (~^)

(383) Proposition VI. «p étant un nombre premier quelconque, et

« a un nombre premier 8/i+ i, si l'ona/j^aM'+aMN+^Y^N',

« c'est-à-dire si a/?' est de la forme P' + «N', je dis que/? appar-

« tiendra nécessairement au diviseur quadratique singulier

« /y1 + *gyz a/V, en sorte qu'on aura p=fp' •+■ ag-jtv -+- a/V.»

Car a étant un nombre premier 8 n + 1 ,on peut faire a— if1 — g*, et cette valeur étant substituée dans l'équation a/?*=P' + aN', il en résultera P' — ap' — fg* — a/"')N\ Les nombres P et p étant premiers entre eux , on voit que N , diviseur de P' — a/?' , doit être de

la forme «* —a ; donc on aura P — rxj? — a /') (a* — a 6')' , et] nation à laquelle on satisfait généralement en faisant P +pi^nz=z (g- -h/Va) (a 4- fil/ a)'; de là résulte/?==/«a-t-ag'*6 a/S*; donc p est compris dans le diviseur singulier fy ■+- ag^rz a/z*.

f384) Proposition VII. « Je dis maintenant que les deux divi- « seurs conjugués qui , pris pour U, satisfont à l'équation proposé*' « U, = PY'-4- aQYZ -f- RZ', sont les seules solutions dont cette « équation est susceptible. »

Pour démontrer cette proposition, cherchons en général les conditions qui doivent avoir lieu pour que deux valeurs déférentes de V, savoir,

U —py' + "xqyz + an z' U —p'y + a q'jrz +- a*' «'

satistâssentégalementàlVkniation proposée U*=PYi-+- aQYZ +RZ\ où Y et Z sont des indéterminées qui doivent être fonctions des indéterminées^ et z.

Nous supposerons que les deux valeurs de U sont préparées de manière que p et p' soient des nombres premiers; cela posé, on trouvera d abord que les carrés de ces valeurs sont compris dans

deux formules de cette sorte :

p*y+29yz+$z>

lesquelles doivent se réduire, lune et l'autre, à la forme donnée Py -4- aQjs -+- Rz'. De là on voit que p1 doit être compris dans la formule p''y+2fjrz + <J>V, et réciproquement//' dans la formule p*y ■+- a?js + $z*. On peut donc faire tout à-Ia-fois

p' ^p'<!'+z9' a p'x*=zp* %* -\- a<p«é -4- <|»f\

Soit /?' a + ?é = y , on aura p'p'*=: y' -+- a 6' , ou