QUATRIÈME PARTIR

Puisque a est un nombre premier, et qu'on peut prendre à volonté le signe de y, on pourra supposer pp'-\- y divisible par a; faisant donc Ç= ABC, 1 équation précédente se partagera en ces deux-ci :

pp-\- ycstfAB', PP— ï=AC\

d'où résulte pp'= { A (O -h a B'). Maintenant, puisque /? et p' sont premiers, les seules valeurs qu'on peut donner à A sont i , a, p ou p' , a/7 ou a //.

On ne peut faire A=p , ni A=2y3/car alors ê étant divisible par ^/ , la quantité p'' égale à /?V -h 29 a 6 + ^6' serait aussi divisible par p, ce qui est impossible : par la même raison, on ne peut avoir A — p' , ni A — *p'.

Si l'on faisait A = 2, on attrait pp'—C' + oB' ; serait donc de la forme./' + az', et alors les deux nombres p et p' appartiendraient à un même diviseur quadratique de la formule r* + au', ce qui est contre la supposition.

Il reste donc à faire A = 1 , alors on aura 2 pp'=Q + a B* ; donc les nombres p et np appartiendront à un même diviseur quadratique de la formule f + 011*; mais les nombres p et ap appartiennent toujours à deux diviseurs conjugués l'un de l'autre. Donc les nombres p et p , qui sont supposés n'être pas compris dans le même d iviseur quadratique, ap)>artiennent nécessairement à deux diviseurs conjugués : ce qu'il fallait démontrer.

(385) Proposition VIII. « Le nombre des diviseurs quadratiques « 4 " + i de la formule t* + a u', où a est un nombre premier 8 n -+- 1 , « surpasse toujours d'une unité le nombre des diviseurs quadrati- « ques 4« + 3 de la même formule. »

En effet , soit M le nombre de diviseurs quadratiques 4« + ' 1 et N le nombre des diviseurs quadratiques 4/*-*-3; si on désigne par A, B, C, D, etc. la suite des diviseurs quadratiques 4« + 1 > les équations U1 = A, U,= B,U* = C, etc. admettront chacune deux solutions distinctes, à l'exception de l'équation

U* = 2 Y" 4- 2 Y Z + Z',qui n'en admettra qu'une. Donc le nombre total des solutions sera a M — i . Mais ces solutions qui doivent être toutes différentes les unes des autres, comprennent nécessairement tous les diviseurs quadratiques, tant 4" +i que 4« + 3, de la formule t' + au\ Donc on aura a M — i = M + N , ou M = N + i : c'est la proposition qu'il s'agissait de démontrer.

Remarque. Puisque, dans le cas dont nous venons de nous occuper, la formule f + aa'a toujours au moins trois diviseurs quadratiques, savoir le diviseur 7* + zyz + (a + i)z\ son conjugué •skj* + zyz + t(«+ 0 et le diviseur singulier ify*+*gyz +fz', lequel ne se confond avec les précédents que dans le seul cas de a= 1 , cas exclu; il s'ensuit qu'il y a toujours au moins un diviseur quadratique 4 « + 3, ce qui justifie la supposition faite dans l'article 171 , de laquelle dépend la démonstration de la loi de réciprocité.