QUATRIÈME PARTIE

S VII. Démonstration du Théorème contenant la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques (n* 166).

(386) Lemme. o Soit p un nombre premier positiï (2 excepté), i « un entier quelconque non divisible par p; si on divise par p les

« produits successifs k, nk, 3 k ^-~^> 'es restes de ces di-

« visions seront composés en partie de nombres a', a", a" . . .a* plus

«petits que \p, en partie de nombres b' , b\b"' . . plus grands « que 7/7. Cela posé, pi désignant le nombre de ces derniers restes,

a je dis qu'on aura «1 général ^^ = ( — 1) savoir ^-^=^= 4- 1 si

« P est pair, et (-)= — » si p. est impair. »

Il est clair d'abord que les restes b' , b", lr", etc. sont inégal» entre eux. Car si deux de ces restes, dus aux multiples A- A, À* A', étaient égaux, il faudrait que la différence k (A' — A) fût divisible par/?; c'est ce qui n'a pas lieu , puisque p est un nombre premier qui ne divise ni k, ni A' — A; car d'ailleurs A' et A sont inégaux et plus petits que ) p. On prouvera de même que tous les restes a\ a\ a", etc. sont inégaux entre eux.

Il suit de là que tous les nombres p — b\p — b\ p — b"\ etc. sont inégaux et plus petits que \p : or je dis qu'aucun d'eux ne peut être égala Tua des nombres a,a\ a'", etc. En effet, si deux restes tels que a et b sont dus aux multiples kA,kA', on pourra supposer a—kA — px, b — kA' — px' ; si donc on avait p — b—a, il en résnherart/?(i + x+ x')=k(A+ A') ;donc if faudrait que /(A-+- A1) fui divisible par p ; or A ne l'est pas non plus que A ■+- A', pwisqnv A et A' sont tous dew* plus petits que 7/?; donw Kéquation précédente est impossible.