QUATRIEME PARTIE

S VIII. D'une loi très-remarquable observée dans l'énumération

des nombres premiers.

(3o4) Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très-satisfaisante combien il y a de ces nombres depuis i jusqu'à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est

log. x — i . o8366 '

log.j: étant un logarithme hyperbolique. En effet, la comparaison de cette formule avec l'énumération immédiate faite dans les tables les plus étendues, telles que celles de Wéga, de Chernac ou de Burckhardt, donne les résultats suivants.

LtNITB X.

Nombre/ 1

LlMITB X.

Nombre y

P»r 11 formule.

P«rl»Ubla.

Par )• foraiUM.

P»r let UbI*»

lOOOO

ia3o

ia3o

aa63

a5oooo

aao35

aao45

3oooo

3ooooo

a6oa3

4ao5

4ao4

35oooo

IOOOOO

7ia79

(39D) H est impossible qu'une formule représente plus fidèlement une série de nombres d'une aussi grande étendue et sujette nécessairement à de fréquentes anomalies. Pour confirmer encore mieux une loi aussi remarquable, nous ajouterons qu'ayant cherché, d'après un procédé que nous exposerons bientôt, combien il y a de nombres premiers de 1 à 1 000000 , nous avons trouvé qu'il y en a 78627 ; résultat qui diffère peu de celui de l'énumération faite dans les tables , et encore moins de celui de la formule. Il n'y a donc aucun doute, non-seulement que la loi générale est représentée par une

fonction de la forme A}og* ^B » m*ls <IUC 'es coefficients A et B

ont en effet les valeurs très-approchées A = 1 , . . . B= — 1 .o8366. • Il resterait à démontrer cette loi a priori, et c'est une recherche intéressante sur laquelle nous donnerons ci-après quelques essais.

(3t)6) Si on appelle a la quantité dont il faut que x augmente pour que y devienne y + 1 , on aura pour déterminer * l'équation suivante, dans laquelle on a fait pour abréger c=i,o8366,

1 log.(jr-j-a) — e log.or — c

De là résulte , en supposant que x est un nombre très-grand , a = (log.tf— c+ +

ou simplement * — log.tf — o . o8366 ; car ces déterminations ne comportent pas une précision rigoureuse.

Il suit de là qu'à mesure que x augmente, la différence entre deux nombres premiers voisins de x augmente aussi , et peut être représentée avec beaucoup d'approximation, quanta la valeur moyenne, par log.-r— o.o8366; de sorte que dans un intervalle de a m termes compris depuis x—rn jusqu'à x -f- m, on devra compter autant de

nombres premiers qu'il y a d'unités dans |og ■r o o8366 » pourvu que m soit assez petit par rapport à x.

Ce résultat s'accorde très-bien d'ailleurs avec la nature des nom-