QUATRIÈME PARTIE

bras premiers qui , en général , doivent être pins éloignes les uns des autres, à mesure qu'ils deviennent plus grands. En effet, U probabilité qu'un nombre pris au hasard est un nombre premier, diminue toujours à mesure que ce nombre augmente, puisque le nombre des divisions à essayer pour s'assurer qu'il est premier, devient de plus en plus grand.

(397) D'après le résultat qu'on vient d'obtenir, il semble que les suites convergentes qui dépendent de la loi des nombres premiers, peuvent être sommées, comme si cette loi était régulière et telle qu'un terme quelconque étant a, le terme suivant fbtx + \og.x — c-t- 1. Voici un essai de ces sommations, qui d'ailleurs seront à vérifier, soit par le calcul numérique, soit par des méthodes plus directes.

Proposons-nous d'abord d'évaluer le produit

dans lequel les dénominateurs sont la suite des nombres premiers de 3 à m. Si ou appelle z' ce que devient a lorsque « se change ea

u log.w — c -+- 1 , ou » + a, on aura *'=z(^~^~1)- Mais par

les formules, connues on a z'=z + a j£ + \ a* + etc. ; donc en

regardants comme très-petit par rapport à », ce qui est d'autant plus exact que u est plus grand , on aura d'abord à très-peu près

ce qui donnera , = 4=,—^. En

ayant égard aux termes du second ordre , on aurait plus exactement A(i--i-)

2 = — ; mais la première valeur est suffisamment

approchée:, et on trouve qu'en faisant A=i. 104, elle représente assez bien les nombres de la Table IX.

(3q8) Soit proposé maintenant de sommer la suite de fractions

dont les dénominateurs sont les carrés des nombres premiers successifs. En mettant » + a au lieu de », on aura z — z—-. — ou

dz , ddz i la. ,

=>^+ ï« gçr + etc- =^r — jji + ete ; d ou 1 on tire

Z — A W(«-t-i)~A »(log.<o-f-o.9i634)"

La constante A est la valeur de la suite prolongée à l'infini : Euler Ta trouvée = o . 202247. ( Introd. in Anal. , n° 282.)

(399) Quant à la somme de la série réciproque simple

on peut la déduire des deux sommes déjà trouvées. En effet , puisqu'on a