QUATRIÈME PARTIE

somme infinie, peut jeter quelque jour sur la loi générale des nomores premiers.

En effet, considérant u comme une fonction de <* qui satisfait à l'équation

si m devient u» + *, on aura

.Cl •

</« a* rfrfw il*'' a i — | -7-— etc. = — ■ — = r + etc.

Et en supposant « très-grand ou « très-petit par rapport à w, ces

suites se réduisent à leur premier terme et donnent du=~~

Dans la même hypothèse de w très-grand , on peut supposer que la valeur de a , développée suivant les puissances descendantes de w, est <t= A u>" + Bw* -+- etc. , l'exposant m étant plus grand que les suivants. En ne considérant donc que le premier terme de cette suite ,

on aurait du=\* f", d'où résulte u=C — — r — •

Mais si m était une quantité finie positive, lorsqu'on fait x=ac , u se réduirait à la constante C, ce qui ne peut avoir lieu , puisqu'on sait que u est alors infini; d'un autre côté, on ne peut supposer m = o, parce que la distance entre deux nombres premiers consécutifs aurait pour limite une constante A , tandis que par la nature de ces nombres elle doit augmenter indéfiniment. Donc il faut que que m soit infiniment petit, et alors A«" + Bw* + etc. prendra la forme Alog. u + B; faisant donc « = Alog.o> + B, on a

du=l-^-=ji'-£ f d'où résulte a=^Iog. « -+- C, quantité qui devient infinie, comme elle doit l'être lorsque u est infinie.

(4oi) Ayant «= A log. « + B,on en déduit aisément la fonction y, au moyen de l'équation y — y= i , ou i , laquelle donne

dy=-, et en mtegrant 7=; +j — =Œ +/ — =a + ^ =

-o THHQM B l>m NOMBRES.

— ^ T=h — r> ce qui s'accorde avec la formule générale

ot — A A log. m -4- B — A 1 n

donnée, ci-dessus y en prenant A = i , B = — o. o#366.

Il est remarquable qu'on déduise ainsi du calcul intégral une propriété essentielle des nombres premiers; mais toutes les vérités mathématiques sont liçes les unes au\ autres , et tous les moyens de les découvrir sont également admissibles. C'est ainsi qu'on a cru devoir employer la considération des Fonctions; pour démontrer divers théorèmes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique.

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