QUATRIÈME PARTIE

§ IX. Démonstration de divers thédrèmes sur les progressions

arithmétiqttts.

(4oa) Soit proposée la progression arithmétique

A — C, aA- C, 3A^C nA-C, (Z)

dans laquelle A et C sont des nombres quelconques premiers entre eux. ; soit 0 un nombre premier non-diviseur de A ; si Ton détermine x de manière que Aa>*-C Soit divisible par 6, la valeur de a*- sera généralement de la forme jxer « +» 4a4 d'où l'ori voit que les termes divisibles par 6 dans la progression proposée forment eUx-mêmes la progression arithmétique

A«— C, A(a + ô) — C, A (a + a 6) — C, etc

et qu'ainsi sur 9 termes consécutifs, pris partout où l'on voudra dans la progression (Z) , il y en a toujours un divisible par 0, lequel est suivi et précédé d'une suite d'autres termes également divisibles par 9, et distants entre eux de l'intervalle 0.

Cela posé, soit p. . .<|i , w, une suite de nombres premiers, pris à volonté , dans un ordre quelconque , mais, dont aucun ne divise A. Nous allons chercher quel est, dans la progression (Z), le plus grand nombre de termes consécutifs qui seraient divisibles par quelqu'un des nombres de la suite ô,X,p. ..<KW> «P« llous appellerons (a). Il faut pour cet effet examiner d'abord les cas les plus simples.

(4o3) i' Si l'on ne considère que deux nombres premiers 0,>, il ne peut y avoir plus de deux termes consécutifs divisibles l'un par 0 , l'autre par \ , et ces termes peuvent être désignes par (6) , (>).

Tx THÉORIE DES NOMBRES.

Le terme qui suit (x) ne peut être divisible par 0 , car l'intervalle avec (9) n'étant que de deux ternies, il faudrait qu'on eût 6=a; mais ce cas est exclu , et nous ne considérons dans la suite (a) que des nombres premiers impairs. Par la même raison , le terme qui précède (ô) ne saurait être divisible par X et encore moins par 0 ; donc dans ce premier cas le maximum cherché M = a.

(4o4) Soient les trois nombres premiers 6 , X, |t; on pourra concevoir trois termes consécutifs divisibles par ces nombres , lesquels seront (ft) , (X) , (pi). Pour que le terme qui suit (jx) soit divisible par 6 , il faut que 0 soit 3, et pareillement pour que le terme qui précède 6 soit divisible par , il faut que p. soit 3. Mais comme les nombres premiers que nous considérons sont nécessairement différents entre eux , il n'y a qu'une de ces deux suppositions qui puisse avoir lieu. Dans le cas donc de 6=3, on pourrait avoir quatre termes consécutifs (3), (x), ({t), (3), divisibles chacun par l'un des nombres premiers 3 , X , pu A la suite de ces quatre termes on n'en peut pas mettre un cinquième; car la moindre valeur que puisse avoir (X) étant 5, le premier terme divisible par 5, après (x), serait le septième et non le cinquième. Donc dans le cas où la suite (a) est composée de trois nombres premiers , on a au plus M =4 » encore faut-il que l'un de ces nombres premiers soit 3.

(4ô5) Supposons maintenant que la suite (a) soit composée de quatre nombres premiers 0 , X , -a , v. Si l'on considère quatre termes consécutifs divisibles par ces nombres , savoir : (G) , (x) , (jx) , (y) ; pour en ajouter un cinquième , il faudra que X soit 3 ; alors on aura les cinq termes consécutifs (ô), (3), (jx) , (v) , (3). Si l'on veut ajouter à ceux-ci un sixième terme, cela ne se pourra que lorsque 0=5, car alors on aurait les six termes (5) , (3) , (pi), (v), (3) , (5). La progression ne peut plus être continuée ni vers la droite, ni vers la gauche, car p et v devant être plus grands que 5, les termes divisibles par ^ ou par v vont beaucoup au-delà. Donc dans le cas où la suite (a) est composée de quatre termes, il n'y a au plus que six termes consécutifs de la progression (Z) <ftii soient divisibles par quelqu'un des