QUATRIÈME PARTIE

termes de la suite (a). On a donc alors M =6, mais ce maximum n'a lieu que lorsque deux des quatre nombres premiers sont 3 et 5.

(406) On conçoit en effet que les nombres premiers les plus petits sont les plus propres à donner la plus grande valeur de M, toutes choses d'ailleurs égales, puisque de plus grands nombres premiers rendent plus grands les intervalles des termes dont ils sont diviseurs.

En vertu de cette observation , on peut considérer tout d'un coup la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7 . . .ty, u, en en laissant seulement deux indéterminés , tels qu'ils sont restés dans les cas précédents; et le maximum trouvé pour cette suite aura lieu à plus forte raison pour la suite (a), composée d'un pareil nombre de termes 0 , p. . .«J» , ». •

Soient donc les cinq nombres premiers 3,5,7,^,»; on a déjà trouvé qu'avec les quatre seuls 3, 5, t|>, «, on pouvait former les six termes consécutifs (5), (3) , (<J») , (<■>), (3) , (5). Si à la place de <|» ou w on prenait 7, alors on ne pourrait former au plus que les huit termes (5), (3), (7), («), (3), (5), (3), car leur continuation à droite exigerait que » fut 5, et à gauche que fut 7. On obtiendra un résultat plus grand en laissant (<[<) et (<u) , comme dans le premier arrangement, et en ajoutant (7) d'un côté, ce qui permettra de l'ajouter en même temps de l'autre , puisque l'intervalle des deux termes (7) et (7) sera de sept ternies, comme il doit être : on aura ainsi les huit termes consécutifs (7), (5), (3) ,(t}>), (w), (3), (5), (7). Mais tle plus on voit que (3) peut être ajouté de chaque côté , à cause de l'intervalle requis entre les (3) les plus proches; et de cette manière on aura une combinaison de dix termes, savoir : (3;, (7), (5) , (3), (+) , («) , (3), (5) , (7), (3). Elle ne peut être prolongée ni d'un côté ni de l'autre, parce qu'il faudrait pour cela que » ou fût 5, ce qui n'a pas lieu , 5 étant déjà employé. Donc dans Je cas où la suite (a) est composée de cinq termes, le maximum cherché est M= 10.

(407) On aurait pu , par une simple observation, arriver immédiatement à ce résultat. Puisque les termes divisibles par 3 et i*e-