QUATRIÈME PARTIE

à ia place des deux termes (1) et (i) qui occupent le milieu, et on prendra dans les termes précédents et suivants tous ceu* <p>i n'excèdent pas (7). De cette manière , on a immédiatement |>ourj le cas dont il s'agit la suite

qui est composée de dix termes et donne le màzimkm'' M = io, comme on l'a déjà trouvé.

Rien de plus facile ensuite que de généraliser le résultat pour tant de nombres premiers qu'on voudra. Si on a , par exemple» les six nombres premiers 3 , 5, 7, 1 1 , 4»i <*» on voit que la combinaison qui produit le plus grand nombre de termes consécutifs divisibles par quelqu'un de ces nombres premiers, est

ce qui donne le maximum M = 1 2.

En admettant encore un nombre premier de plus, de sorte que la suite (a) fût composée des sept ternies 3,5,7, 1 1 ; 1 3 , <|» , a> , on aurait la combinaison

(3), (.3), (ii)f (3),(7),(5), (3), (♦). («), (3), (5), (7), (3)T(i i),(i3),(3),

laquelle est composée de seize termes et donne M = 16. Elle ne peut être prolongée plus loin , parce que le terme qui viendrait à la suite , d'un coté ou de l'autre, est (17); or quand même y ou u> serait égal à 17, on ne peut l'employer pour continuer la suite, puisqu'il laisserait vers le milieu une place vide. .

(409) Maintenant j'observe que le nombre i(> qui satisfait à la question précédente n'est autre chose que 17—1,17 efant no"1*»1,6 premier qui suit immédiatement i3; et il est aisé de voir que ce résultat, aiosi généralisé, est exact; car )» progression dont non» venons de faire usage n'est antre chose que la progression des nombres impairs 1 , 3, 5, 7, 9, etc. répétée dans demx sens diftefents,

et dan» laquelle on a désigné chaque terme par le plus petit nombre premier qui en est diviseur; de sorte qu'on peut établir ainsi la correspondance de ces deux progressions :

or par cette disposition on voit évidemment que le nombre de termes

compris entre les deux désignés par 17, 17, est 17 — 1 ; donc on a M— 17— 1.

Il n'est pas moins facile de voir en général , que si la suite (a) est composée de k nombres premiers, dont deux , 4» et u, sont indéterminés , et les k — a autres forment la suite naturelle 3 , 5, 7 , 1 1 , 1 3, 17, etc. jusqu'à «(*,); le maximum cherché sera

ir(4~,) étant le terme de rang k — 1 dans la suite des nombres premiers 3,5,7,ii, etc.

Cette formule s'accorde avec les résultats particuliers que nous avons trouvés , et il en résulte le théorème général qui suit :

(4 10) a Soft donnée une progression arithmétique quelconque « A — C, aA — C, 3 A — C, etc. , dans laquelle A et C sont premiers « entre eux; soit donnée aussi une suite 6,X,(i...^,w, composée « de/* nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans « un ordre quelconque; si on appelle en général «'*' le z'1~ terme de a la suite naturelle des nombres premiers 3,5,7, ' 1 » etc- » je °*'s « que sur ir(,~,) termes consécutifs de la progression proposée, il y a en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres (i > « premiers 6 , X , p. . . . <J< , w. » ! ' )

En effet, on vient de prouver que daus la progression dont il s'agit, il ne peut y avoir au plus que ir4,i — 1 termes consécutifs qui soient divisibles par quelqu'un des nombres premiers 6,X, p. ..<|,, *>. Donc sur > termes consécutifs, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun de ces nombres.

4ML, )ïV,t' 3« -A f .ÎU^/'&n/- ''