QUATRIÈME PARTIE

Ce théorème très-remarquable est susceptible de plusieurs belles applications. On en jugera par les deux conséquences que nous allons en tirer.

(4n) La progression A — C,aA — C,3A — C, etc. étant continuée jusqu'au »'w terme nA — C, soit L le plus grand entier compris dans l/(«A — C); soit en même temps u le nombre premier immédiatement au-dessous de L, et 4 le nombre premier qui précède *>; si dans la progression A — C,2A— C, 3 A — C,etc. , on prend partout où l'oa voudra <j/ termes consécutifs, il faut , en vertu du théorème précédent, que sur ces <J> termes il y en ait au moins un qui ne soit divisible par aucun des nombres premiers 3, 5, 7, 1 1 . . .<J», w, et qui sera par conséquent un nombre premier, la progression étant terminée au terme nA — G.

Le nombre des termes de la progression , depuis celui qui approche le plus de \/{n A — C) jusqu'au dernier terme nA — C, est

à peu près n — l/Q);(caronsupposeC<A,etona^<l/nA).

Donc dans les n termes de la progression dont il s'agit, il y aura au

n— témoins autant de nombres premiers qu'il y a d'unités dans y/nK ,

ou à peu près dans Vi- Ce nombre peut être aussi grand qu'on

veut, en donnant à n la valeur convenable. Donc

« Toute progression arithmétique dont le premier terme et la « raison sont premiers entre eux , contient une infinité de nombres a premiers. »

Cette proposition, qui est très-utile dans la théorie des nombres, avait été indiquée dans les Mémoires de l'Académie des Sciences , an. 1 785; mais jusqu'à présent sa démonstration n'était point encore connue et paraissait offrir de grandes difficultés.

(4 12) On pourrait, s'il était nécessaire, resserrer graduellement les limites entre lesquelles doit se trouver un nombre premier; car le nombre ic^^qui fixe l'étendue de ces limites, diminue en même temps que n, et à peu près en raison de \/n; donc lorsque n est

moindre, ou que la progression est moins avancée, il faut un moindre nombre de termes consécutifs pour trouver parmi eux un nombre premier, que lorsque la progression est plus avancée.

Par cette raison on trouverait une quantité plus grande que l/£

pour le nombre des termes de la progression qui sont des nombres premiers; ce résultat augmenterait encore en excluant les nombres premiers impairs qui peuvent diviser A ; car si le nombre de ceuxci est/, alors au lieu du nombre ic(*-,) mentionné dans le théorème du n° 4io, on devrait prendre ~°. Mais ces observations sont peu importantes, et il suffit d'avoir démontré généralement que toute progression arithmétique, dans laquelle C et A sont premiers entre eux, contient une infinité de nombres premiers. Quant à la multitude des nombres premiers contenus dans n termes de la progression arithmétique , elle ne peut être déterminée que par d'autres considérations.

(4 1 3) Examinons plus particulièrement la progression des nombres impairs t, 3, 5, 7, 9. ..an — i,et proposons-nous de trouver combien de termes il faut ajouter à cette progression, pour que parmi ces termes il se trouve nécessairement un nombre premier.

Soit $ le nombre premier qui satisfait à la question, et u le nombre premier qui suit immédiatement \ ; il faudra , suivant notre théorème, que u soit le plus grand nombre premier contenu dans +2<j» — i); donc «' — 2<|» -+- 1 < an. Mais « — ne saurait être moindre que 2, on aura donc u' — au+ 1 <an — 4> d'où résulte w — 1 < V (2» — 4) > et par conséquent < — 1 +l/(an — 4)- Cette solution générale fournit le théorème suivant :

* Soit <lf le plu» grand nombre premier contenu dans l/(an — 4) — 1 ; a je dis que parmi les ^ nombres impairs qui suivent immédiatement « a « — 1 , il y aura toujours au moins un nombre premier. »

(414) Par exemple, soit an — 1 = ip3, oun=57, le nombre premier le pras grand contenu dans l^TTô — 1 est 7. Donc parmi les sept nombres impairs qui suivent u3 et qui sont: 11 5, 117, 119,