QUATRIÈME PARTIE

i2i , ia3, ia5, 127, il y a nécessairement un nombre premier; c'est 1 a7 , qui est précisément le septième.

Ici la limite fixée à 7 ne s'est trouvée que de la grandeur nécessaire; le plus souvent , et surtout lorsque n est très-grand , elle est beaucoup trop étendue ; on l'agrandirait encore, mais on simplifierait 1 énoncé du théorème, en disant que de L à \. -4- il doit nécessaire-

ment se rencontrer un nombre premier.

Ce théorème est au moins un premier pas vers la solution du problème regardé comme très-difficile, de trouver un nombre premier plus grand qu'une limite donnée.

Remarque. Si on donnait à n des valeurs très-petites, on trouverait que ce théorème est sujet à quelques exceptions ; mais comme on a supposé que 4» est un terme de la suite 3 , 5 , 7 , 1 1 , etc. , il faut que l/Çzn — 4) — 1 soit plus grand que 3, ainsi on doit faire n > 10, et alors il n'y aura aucune exception.

S X. OU l'on prouve que tout diviseur quadratique de la formule V + N u' , contient au moins un nombre Z plus petit que N et premier àNo«à|N.

(4 1 5) Cette proposition est nécessaire pour compléter la démonstration du théorème XII de la troisième partie; elle se vérifie immédiatement dans tous les exemples qu'on peut se proposer, et même on peut donner la valeur générale de Z dans un grand nombre de diviseurs quadratiques qui contiennent un coefficient indéterminé et s'étendent ainsi à une infinité de valeurs de N. Mais nous ne donnerons de ces cas particuliers que ceux qui sont nécessaires pour conduire à la démonstration générale.

Comme nous avons principalement en vue les formules de la Table VIII, qm font le sujet du théorème cité, nous ferons usage des mêmes dénominations. Soit donc le diviseur quadratique. . . r = Cj* + *byz-\-az\ où l'on a ac — £*=N, a et c>nb, et c < al/ }N ; on suppose que les trois nombres a, b, c n'ont pas de commun diviseur; car s'ils en avaient un, il est évident que la pro- {>osition énoncée ne pourrait avoir lieu.

(4i6) Cela posé, remarquons d'abord qu'il y a deux cas principaux où on obtient immédiatement la valeur de Z.

i" Si l'un des deux nombres a et c n'a point de diviseur commun avec N, ou s'il n'a que a de commun diviseur, ce nombre pourra être pris pour Z.

Si le diviseur quadratique proposé manque de second terme , de sorte qu'on ait r = c)J + C2' et N = ac, il est visible que le nombre c a , compris dans V , est plus petit que a c et n'a aucun diviseur commun avec ac; donc dans ce cas on a généralement Z = r \- a.