QUATRIÈME PARTIE

Il ne s'agit donc plus que d'examiner les cas où b n'étant pas zéro, les coefficients a et c ont chacun un diviseur commun avec N.

Dans cette double supposition , non-seulement il est possible de

trouver le nombre cherché Z dans la formule proposée

cy* + abyz ■+■ az't mais il est possible de le trouver dans la formule moins générale cy*-\- nby + a. Nous allons donc faire voir qu'on peut toujours satisfaire à 1 équation Z=cy*-t- zby + a, en supposant Z moindre que N et premier à N ou à |N.

(417) Soit ô*x le plus grand commun diviseur de c et N ; nous représentons ainsi ce diviseur afin d'exprimer que X n'a que des facteurs inégaux , et pour pouvoir conclure de Péquationac — è'=N que 8X est le plus grand commun diviseur de c et de b. Soit donc c=ô'\c', b=nb', N=6*xN', on aura N'=ac — \b'\ et le diviseur Z deviendra

Z = 0'Xcy + ztob'y+a.

J'observe d'abord que Z ne peut avoir aucun diviseur commun avec «x ; car si un même nombre premier <•> divisait Z et «X , il est évident , par la formule précédente , qu'il diviserait a /donc les trois coefficients a, b, c seraient divisibles par un même nombre, ce qui est contre la supposition.

Mais on a N=6*xN' ; donc s'il y a un commun diviseur entre Z et N , ce même diviseur aura lieu entre Z et N' ; et réciproquement si Z et N' sont premiers entre eux , Z et N le seront aussi , comme la question l'exige.

Tout se réduit donc à fa ire en sorte que Z et N' n'aient point entre eux de commun diviseur. Or la valeur de Z étant multipliée par c' donne

c'Z=x(ôc> +bJ + N,

et d'ailleurs les nombres c et N' sont premiers entre eux, puisque ô'x est le plus grand commun diviseur de c et N. Donc on sera assuré que Z et N n'ont point de commun diviseur impair, si on fait en sorte que *c'y+ b' et N' soient premiers entre eux.