II. M

8a THEORIE DES NOMBRES.

(418) Appelons «',«", «"' «{0 les * différents nombres pre-

miers impairs qui peuvent diviserN' ;si on désigne par ft(,,)le ternie de rang *— 1 dans la suite naturelle des nombres premiers 3,5, 7,11, etc. , et que d'après le terme général ftc y ■+■ b' , où 6 é et b? sont premiers entre eux , on forme la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens :

. ..— aOc + b', —bc+b1, b\ tc+b', 20 c + b, ...

11 a été démontré (n* 4 io) que sur ,} termes consécutifs de cette progression, il y en aura au moins un qui, n'étant divisible par

aucun des nombres premiers «',«", a('\ sera nécessairement

premier à N'.

On trouvera donc ainsi tant de valeurs de Z qu'on voudra , lesquelles n'auront aucun diviseur commun avec N ; mais il reste à faire voir que parmi ces valeurs il y en aura toujours au moins une moindre que N.

(419) Observons d'abord que pour avoir les limites des valeurs de y qui rendent Z moindre que N , il faut résoudre l'équation N = cy* + air -4- a, laquelle donne pour ces limites

Leur différence ^l/(cN — c) est à très-peu près le nombre des valeurs de y qui rendent Z < N ; car au moyen des valeurs précédentes, et en observant qu'on a &<-rc, on trouve aisément que le

nombre de ces valeurs est égal à l'entier compris dans |l^(cN — c), ou ne peut surpasser cet entier que d'une unité. Appelant donc ri ce nombre, on aura w'=E(a ^J*"" c^ , Gu dans certains cas, n'= 1 -+- E^al//(c^ — f)^ . majs on pent s»en tenir généralement à

la première valeur , et le calcul ne sera que plus concluant en faveur de notre proposition.