QUATRIÈME PARTIE

On peut donner à cette valeur une forme plus commode. Puisque a et c ont chacun un commun diviseur avec N, et que b n'est pas ïéro, il faut que b soit divisible au moins par deux nombres premiers impairs différents l'un de l'autre; ainsi b ne saurait être moindre que 3 x 5, et comme on a c> 2b, on doit donc avoir aussi c > 3o.

Le même nombre c, supposé le plus petit des deux a et c, est < 21/ -| IN ; et comme on a c N— c > (c— 1) N , la valeur de n peut être'mise sous la forme

11 faut maintenant faire voir que, quel que soit le nombre i des facteurs premiers différents dont N' est composé, on aura toujours

(4aoj Reprenons la valeur N'=ac' — \b'\ et supposons que le plus grand commun diviseur entre a et N soit ^ v , jt' étant le plus grand carré qui en est facteur; il faudra que b' soit divisible par : ainsi en faisant a=^-*a\ £' = p.v£", on aura N'=n'v(a' c — \vb"'). Le facteur pourrait se réduire à l'unité, mais v est un facteur impair qui reste nécessairement, puisqu'on raisonne dans l'hypothèse que a et N ont un commun diviseur autre que 2. Quant à l'autre facteur de — Xv&"', on peut faire voir qu'il est plus grand que 3>v&"'; car a et c étant l'un et l'autre >nb, on a «c>4£\ ce qui donne aV> 4W>"\ Cela posé, on voit que N' ne peut avoir moins de deux facteurs impairs différents, ou que i ne peut être moindre que 2. Nous allons examiner successivement les différents cas qui ont lieu selon les différentes valeurs de i.

Supposons i' que N' n'a que deux facteurs, v et «; le nombre i étant 2, on aura p/'- ° = (t(' ■=■ 3, puisque 3 est le premier terme de

la suite 3 , 5 , 7 , 1 1 , etc. Il faut donc prouver que ri est plu» grand

que 3.

Ayant d'une partN'=vai et de l'autreN'^Xv'&'Sonaàplus forte raison « > 3Xv; et comme les moindres nombres à prendre pour X et v sont 3 et 5 , on aura « > 45. Ainsi on ne saurait supposer « moindre que 46 ou 47; on peut prendre a =46, parce que le facteur a ne change rien au résultat qu'on veut obtenir. Alors on aura N=»*xN' = e'Xv.46; la moindre valeur de N est donc

N = 3 . 5 . 46 = 690 , d'où résulte — 690 > 9,37. Donc si N'

n'a que deux facteurs premiers impairs, on aura ri > ^i~t).

a* Supposons que N'a trois facteurs premiers, et de plus que ces facteurs sont inégaux , afin de rendre d'autant plus grande la valeur de 1 ; on fera donc N' = v«6 , i= 3 , ce qui donnera •> = ^ = 5 ; il faudra encore qu'on ait N' > 3v'X b"1 ; et par conséquent a ê>3 vX. La quantité 3vXa pour minimum 3.3. 5, ou 45; donc «6> 45. Mais les nombres a et 6 doivent être inégaux entre eux et différents de 3 et 5 ; on ne peut donc prendre pour « et 6 des valeurs moindres que 7 et 11. Elles donnent N'=v.7-u, et la moindre valeur de N = «'xN' seraXv.7.11, ou 3. 5. 7. 11. Mais il est évident que

1/(3.5.7. 11) > 5« Donc on a encore ri >{*c'"°.

3' Soit N'= v a€y ; ces quatre facteurs étant impairs et inégaux, on aura t==4 et vSi—>=vP>=j. Dans ce cas la moindre valeur de N=e»Xva6«y sera 3.5.7.n.i3; or 1/(3.5. 7 . 1 1 . i3) ou..

1/(7 . 1 1 . 1 3 . 1 5) est évidemment plus grande que 7 ; donc on a encore /i*>{t(,-,).

4* En admettant un facteur de plus, on aurait 1= 5, '>= 1 1 ,et la moindre valeur de N étant 3.5.7. m . i3. 17 ou 1 1 • i3. 17. io5,

on aurait \/ N > aa , et par conséquent /»'> ^V/N > p!'— \

L'inégalité devient évidemment de plus en plus grande en faveur âe ri, à mesure que le nombre des facteurs augmente au-delà de trois : ainsi la proposition est rigoureusement démontrée lorsque N' aura un nombre quelconque de facteurs impairs, inégaux.