QUATRIÈME PARTIE

S'il y a des facteurs égaux dans N' , ils n'entreront que comme facteurs simples dans la valeur de *, et par conséquent dans celle de mais l/N augmentera et l'inégalité deviendra encore plus

grande en faveur de n'. Il en sera de même du facteur a , qui , lorsqu'il a Lieu, augmente la valeur de a' sans augmenter celle de |t(,-°.

Donc dans toutes les formules qui ne se rapportent pas aux cas i et 2 du n* 4 1 6, on pourra toujours trouver un ou plusieurs nombres Z plus petits que N et premiers à N ou à |N.

§ XI. Méthodes pour trouver combien , dans une progression arithmétique quelconque , il y a de termes qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers compris dans une suite donnée.

Considérons de nouveau la progression arithmétique

A-C, aA — C, 3A— C nA — C ,

dans laquelle A et C sont premiers entre eux, et soit 6 un nombre premier non-diviseur de A. Si on détermine le nombre 0* plus petit que 0 , de manière que A 8* + C soit divisible par 0, et qu'on fasse x = 8 z — 0*, toutes les valeurs de x comprises dans cette formule rendront Ax — C divisible par 8. Cela posé, le nombre des termes de la progression proposée étant n, supposons qu'on demande combien il y a de ces termes qui ne sont pas divisibles par 0. Si n est un multiple de 0 , il est clair que le nombre des termes

divisibles par 0 sera J ; donc le nombre des termes non-divisibles

étant nommé y, on aura

jr = n— J = n(i— -{-)•

Si n n'est pas un multiple de 8 , la formule précédente désignera , à une fraction près , le nombre des termes non-divisibles par 8. Mais pour avoir une formule exacte dans tous les cas, observons que les termes divisibles parô forment la suite A(0 — 8°) — C, A(28 — 8') — C, A (3 8 — 8°) — C, etc., jusqu'à un terme k A8 — A8°— C, aussi approché qu'il est possible de An — C, et plus petit que A» — C.

F)ésignonsà l'ordinaire par E^~^ l'entier le plus grand contenu dans — ■* — ; cet entier sert» la valeur de /• ; donc le nombre des