QUATRIÈME PARTIE

termes divisibles par $ dans la progression proposée sera E (j-j^J » et par conséquent le nombre des termes non-divisibles est

I/orsque n est divisible par e , l'entier contenu dans est quel que soit 6% puisque ô* est positif et <9. Donc alors on aura. . .

(4aa) Soient maintenant 6 et > deux nombres premiers uoo-diviseurs de A, et soit proposé de trouver combien, dans la même progression , il y a de termes qui ne sont divisibles ni par 0 ni paix.

Désignons en général par A° le nombre positif et moindre que a,

qui rend A A" -♦- C divisible par A ; l'expression E désignera

le nombre des termes divisibles par 0 dans la suite proposée, et

^(~"T~0' 'e nombre des termes divisibles par X. Si 011 retranche l'un

et l'antre du nombre total n, il restera «— E (^~) — E (^-*)-

Mais de cette manière on retrancherait deux fois les termes divisibles par ôx; pour ne les retrancher qu'une fois, ainsi que la question l'exige , il faut ajouter à la quantité précédente le nombre des

termes divisibles par 8X, lequel est E^ — ç~ — -\ On aura ainsi le nombre demandé

Dans le cas où n est divisible par 6X, cette formule devient

^23) En général soient 0 , X > l* • ..<!»,», tant de nombres-

qu'on voudra (a excepté) dont aucun ne divise A , et soit proposé de trouver combien, dans la progression A— C,aA — C,. . .«A— C, il y a de termes qui ne sont divisibles par aucun de ces nombres; il faudra distinguer deux cas :

i • Si n est un multiple du produit 6 * p. <|* », le nombre demande

Cette même formule donnera en général un résultat approché pour toute valeur de n; mais l'approximation pourrait devenir fautive si le produit GXp. . .tj»u équivalait à une puissance très-élevée de n.

a* Quel que soit n, on obtiendra toujours la solution exacte, au moyen de la formule

y=„/E(^>/E("-^-/E(^aieï)+e«c.. . .(10

dans laquelle/*E exprime la somme des entière E^^-^^,

^CT *)' etc'* <*us aux s'mP^es n°mDres 6>X, etc. ; fE ) la somme des entiers E (""^ > E (" fyf )i etc- » dus aux Pro"

duits deux à deux de ces nombres, et ainsi de suite; ces quantités devant être formées dans toutes les combinaisons possibles et avec les mêmes signes que les termes de même dénomination dans le produit développé nÇi — |) (i — |) —

Il faut observer cependant que dans la forme (b') les termes ne doivent être continués que tant que les dénominateurs A n'excèdent pas An — C, dernier terme de la suite proposée ; car lorsque A surpasse An— G, le nombre A° qui rend A A" 4- C divisible par A, est plus petit que A — n; ainsi on a eT*"^ ) = o.

Dans le cas où n est un multiple du produit 8> jt. . .y»=ft, chaque terme E^ — g — j de la formule (b') se réduit à ^ , et on retombe exactement sur la formule (a').