QUATRIÈME PARTIE

En général si on a /ï=* a + m, la valeur de y sera composée i°de la partie k (0 — 1 ) (X — 1) . . . (« — 1 ) qui répond à la valeur n = kçi ; a" de la partie qui répond à la partie n= m, et qui est donnée par la formule (b').

(4a4) Dans le cas particulier où l'on considère la progression des nombres impairs 1 ,3, 5. . .2/1— 1 ,on a A=2, C= 1 ,et la valeur de A0 qui rend 2 A" ■+■ 1 divisible par A , est en général A°=y(A — 1), ce qui permet de former immédiatement tous les termes de la formule (b'), chacun étant ± E("">~H* ~ °)>

Soit proposé, par exemple, de trouver combien, dans les 100 premiers termes de la progression 1 , 3 , 5 , 7 , g , etc. , il y a de termes qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers 3 ,5,7,11'; la formule générale donnera

r=,oo-E(!f!) + E(i3)E(£)

-E(iî3) + £(^)-E(jâ0

On ne va pas plus loin, parce que les autres produits formés avec les facteurs 3, 5, 7, 11 , surpasseraient 199, dernier terme de la suite proposée. Faisant donc les réductions, on aura/= 43.

Ia formule d'approximation (a') donne pour le même cas

j=ioo.| | J ^=4i^|> ce qui s'écarte peu de la vérité.

(4a5) Examinons plus particulièrement la suite des nombres impairs 1,3,5,7, jusqu'à 2 « — 1=0, et désignons , pour abréger , II. is

9o THÉORIE DES NOMBRES.

par T le nombre des termes qui restent de cette progression ,

après avoir supprimé ceux qui sont divisibles par quelqu'un des nombres premiers successifs 3, 5 , 7 , 1 1 . . Nous distinguerons deux cas :

l° Si l'on aw=ou>l/a, tous les termes dont il s'agit seront des nombres premiers; supposons donc que par N (» , a) on désigne combien il y a de nombres premiers depuis u jusqu'à a, l'un et l'autre inclusivement , on aura

Quant au nombre N(», a), il se trouvera ou par les Tables, ou par la formule approchée i

dans laquelle c= i,o8366.

a* Si on a «a <W/<^, appelons <a, a>",etc. les nombres premiers qui suivent w , depuis « jusqu'à |/a ; appelons en outre c , a", a ",etc. les

entiers impairs les plus grands contenus dans les fractions — , , 4 ,

~ , etc. Parmi les termes dont le nombre est représenté par T ,

il y a d'abord tous les nombres premiers de »' à a, lesquels avec le premier terme 1 , qui est toujours du nombre des restants, font un nombre N (*>' , a) -t- 1 ou N (*» , a). Viennent ensuite les nombres qui résultent du produit de w' par chacun des nombres premiers de »• à leur nombre est N («', a!) ; ainsi de suite. On aura donc

T (?) =x N („,«) + N , «9 + N («« , a) + etc.

Cette quantité s'évalue aisément au moyen d'une Table de nombres premiers suffisamment étendue. Car en commençant par les derniers termes et connaissant, par exemple , la valeur de N («", a"), on en déduit N(«\a9 = N(«",a") + N(«:,a'); l'expression N£, a') èêù~