QUATRIÈME PARTIR

gnant combien il y a de nombres premiers depuis a" jusqu'à cl inclusivement, ou ce nombre augmenté d'une unité, si a" n'est pas premier.

(4a6) Pour donner une application de ces formules, cherchons la valeur de T (-4^) , c'est-à-dire , le nombre de termes de la progression i,3, 5 ia5i, qui ne sont divisibles par aucun des

nombres premiers 3 , 5, 7, 1 1 , i3.

Je trouve d'abord que de i3 à 1 a5i il y a 199 nombres premiers, ce qui donne N(i3, i25i)= 199; je divise ensuite ia5i par les nombres premiers 17, 19 , 23 , 29, 3i , compris de 1 3 à l/ïâSï ; les quotients impairs qui en résultent sont 73,65, 53, 43, 39. Or à l'aide de la Table on trouve N (3 1 , 3g)= 2 , N (29 , 43) = a + N (3$ , 43)= 5 , N(a3, 53)=5 + N(43,53) = 8, N(i9, 65)=8 + N(53 , 65)=u , N(i7, l'S)— 1 1 +N(65, 73)= i5. La somme de ces nombres est 4 i ;

donc T (^?) = 1 99 + 4 1 = a4o.

La formule d'approximation (a1) donne darts le même cas

T (jff) — 6a6 x o,3836=a a4o. Mais le résultat n'en est pas toujours

aussi exact; par exemple, cette même formule donnerait

T (^p) = io638 x o^8344 = 3o 1 5 , tandis que la vraie valeur de

cette quantité est 2987.

(4a7) La quantité T ^ , ou en général P , relative à une progression quelconque A— C,aA — C./iA — C , et en supposant des diviseurs premiers quelconques p . . .'«J», u , peut se ramener à d'autres quantités de la même espèce, dans lesquelles la série des diviseurs serait moins étendue.

En effet la valeur de P(£) donnée par la formule (b'), est. .

n__yE(^^)-H/E(^^t^) — etc.; on y remarque d'abord une suite de termes qui ne contiennent pas o, et dont la somme peut

ia.

9a THÉORIE DES NOMBRES

être représentée par > ce qui suppose que la suite des diviseurs 6 , X , ji , etc. a pour dernier terme <|». Les autres termes contenant w sont en général E(i±^) +/e(^±££)— etc. Considérons un

de ces termes quelconques E > comme le nombre a doit rendre

A a -+- C divisible par <o A , si Ton fait a = k <•> + 6 , € étant positif et plus petit que«, le terme deviendra E^" ~t~o)*^>+6)-

Soit encore n + g=n' w -4- y, y étant positif et < w, on aura. .

B(^)= EC'" tl"+T) = E(^} Quantaunonlbrei'< PO» voir ce qu'il signifie, il faut substituer la valeur a=kt» -\- 6 dans la

quantité Aa -+- C, ce qui donnera A*w~^6~l~C=e. De là on voit que A 6 + C doit être divisible par et qu'ainsi g est ce qu'on a déjà

nppelé w°; faisant donc 6 = »°, puis = C, la quantité A devra

satisfaire à 1 équation — ^ — = e, de sorte qu'on aura encore k=&\ Si on réunit maintenant tous les termes E » avec les signes

qui leur conviennent, la somme sera représentée par — P'^^ , P' (^-) étant le nombre de termes qui restent de la progression A— C,

a A — C . . .n' A — C, après en avoir retranché tous ceux qui sont divisibles par quelqu'un des nombres premiers 6, X, p. . .<j». On aura donc enfin

formule qui sert à déterminer la quantité P^,tiu moyen de deux

autres quantités semblables dans lesquelles il y a un nombre premier de moins à considérer.

Le nombre C étant en général différent de C, la progression A— C, 2 A — C, etc. est différente de la progression donnée; mais elles ont l'une et l'autre la même raison A. C'est pourquoi nous avons dis-