QUATRIÈME PARTIE

tingué par un accent la quantité F ) relative à cette nouvelle progression.

On voit d'ailleurs que G' se trouve immédiatement par la valeur C = Ab> , ainsi que ri par la formule ri =e(""^w )•

(4^8) Les deux progressions dont nous venons de parler se réduisent à une seule lorsqu'on a A = 2 , C = 1 , ou lorsqu'il s'agit de la progression i,3,5. . .(an — 1). Alors on a »*=-j(m — i),C=i ,

ri— E^" **" T^)~ > et la formule de réduction devient

Cette formule renferme une sorte d'algorithme qui peut avoir des applications utiles.

Supposons 7 par exemple , qu'au moyen de la Table des nombres premiers de 1 à 100 seulement, on veuille savoir combien il y a de nombres premiers de 1 à 1000. Le nombre premier immédiatement

plus petit que l/ÎÔÔôest 3i ; ainsi en cherchant la valeur de T(^p) ,

où l'on considère comme diviseurs tous les nombres premiers de 3 à 3i , il suffira d'ajouter 1 1 au résultat, parce que 3 1 est le iae des nombres premiers. Or par la formule (d') on a

rp /5oo\

-TGî)

-TGD

On trouve ensuite par la Table de là loojTQ^sa, TQ0s=3,

La somme de ces nombres est 70; d'ailleurs par la formule (b') on

a T (-~")= 228 ; donc T (^jf) =228 — 70 = 1 58 , à quoi ajoutant

1 1 , le résultat est 169. II y a en effet 169 nombres premiers de 1 à 1000.

C'est par de semblables procédés qu'on s'est assuré que de 1 à 1000000, il y a 78527 nombres premiers , résultat qui sert à confirmer la formule du n* 394.

(429) Revenons à la formule générale (b'), et appelons c le plus petit nombre positif qui rend At + G divisible par A ; au moyen du seul nombre a , on pourra transformer d'une manière commode les

différents termes de la formule (V). Soit , par exemple , E { ^ j

un de ces termes où A doit être en général un diviseur de û; on pourra faire t=bz + &, * étant positif et < A. Alors A «+ C devient AAz-f-A$-+-C, et comme cette quantité divisible par Cl, Test à plus forte raison par A, il faudra que A S + C soit divisible par A , ce qui donnera A"=i=» — As. On aura donc

Faisant une semblable transformation pour chacun des termes dont la formule (b') est composée, on aura pour résultat général

PG)-n(5±î)-nG)-.---M.

n étant une fonction semblable à P , et dont la valeur générale est

- n(;)=«-/E(î)+/E(fO-/E(4)+eW (H-

(430) Cette valeur de la fonction n prouve qu'elle n'est autre chose que la fonction P appliquée à la simple progression des nombres na-