MÉTHODES ET RECHERCHES DIVERSES

§ I. Théorèmes sur les puissances des nombres.

Jja méthode dont nous allons donner diverses applications, mérite une attention particulière , en ce qu'elle est jusqu'à présent la seule par laquelle on ait pu démontrer certaines propositions négatives sur les puissances des nombres. Le but de cette méthode est de faire voir que si la propriété dont on nie l'existence avait Heu pour de grands nombres , elle aurait lieu également pour des nombres plus petits. Ce premier point étant établi , la proposition est démontrée; car pour que le contraire eût lieu, il faudrait qu'une suite de nombres entiers décroissants pût être prolongée à l'infini , ce qui implique contradiction. Fermatest le premier qui ait indiqué cette méthode dans une de ses notes sur Diophante, où il prouve que l'aire d'un triangle rectangle en nombres entiers (i) ne saurait

(i) Trois nombres tels que le carre du plus grand équivaut à la somme des carrés des deux autres, sont ce qu'on appelle un triangle rectangle. On peut donner pour exemple les nombres 3, 4, 5, les nombre* 5, ta, i3, et une infinité d'autres.