II. i

a THÉORIE DES NOMBRES.

être égale à un carré. Euler en a depuis étendu les applications , et l'a exposée avec beaucoup de clarté, dans le tom. II de ses Éléments d'Algèbre.

(3a4) Théorème I. « 1,'aire d'un triangle rectangle en nombres « entiers ne saurait être égale à un carré. »

Puisqu'on a (a' -4- biy=(a' — b')1 + (ac b)', il est clair que les trois côtés d'un triangle rectangle peuvent être représentés par les nombres a' -+- b' , a1 — b\iab; c'est aussi l'expression générale qu'on déduirait de la résolution directe de l'équation jc*—y* 4- z' (n° 1 7). Ces trois nombres pourraient de plus être multipliés par un facteur commun 6 ; mais nous ferons abstraction de ce facteur, qui est inutile pour notre objet, et par la même raison , nous supposerons a et b premiers entre eux. En effet , si les trois côtés d'un triangle sont divisibles par 0, l'aire sera divisible par 6'; donc si cette aire est un carré, elle le sera encore après avoir été divisée par son facteur 6'.

Cela posé, appelons A l'aire du triangle dont il s'agit, nous aurons A —ab[a* — b'); et comme les facteurs a et b sont premiers entre eux, ils le seront également avec à1 — b%; donc pour que A soit uu carré, il faut que chacun des facteurs a, b , a' — b' , en soit un. Soit donc a =/«', £ = /»', il restera à faire en sorte que «* — b' ou m* — n* soit égal à un carré.

Cette qitantité m* — nk est le produit des deux facteurs m' + tï , m* — tC : or m et n sont premiers entre eux , puisque a et b le sont. I>e plus, ils doivent être supposés l'un pair et l'autre impair; car s'ils étaient impairs tous deux , a et b le seraient aussi , et ainsi les trois côtés a' -hb' , a1 — b\ o.ab seraient divisibles par a , ce qui est contre la supposition. Donc les facteurs m% ■+- «' et m* — n' sont premiers entre eux, et puisque leur produit doit être un carré, il faudra que chacun d'eux en soit un.

Faisons en conséquence m* -4- —n'=(j\ nous aurons

n' + q' = n?fet*nt + p\ Donc, «si l'aire d'un triangle rec- « tangle est un carré , on pourra trouver deux carrés y* , n\ tels que