QUATRIÈME PARTIE

turels 1 , a, 3. . ,n, et qu'elle désigne par conséquent le nombre des termes qui restent de cette progression après en avoir exclus tous les termes divisibles par quelqu'un des nombres premiers • , X, (t. . .u. En effet, dans le cas où le terme général An — C se réduit à n, on a A= 1 , C=o, et la valeur de s qui rend A< + C divisible par fi est simplement 1=0, de sorte qu'alors P se change en n. La fonction n est nulle, ainsi que la fonction P, lorsque n = o,

et lorsque n est négatif, on a généralement n = — n (— ~) »

car la progression 1 , a, 3. . .« fait partie de la suite plus générale

— 3, — a, — i»o, i , a, 3 , 4> etc.

Suivant ce qu'on a déjà observé n* 4a3 , si l'on a»=#ft-*-m,et qu'on fasse ft'=(6— i)(X— 1) (,*— 1). . .(•— 1), il en résultera

p(iB^)==*fi' + P(£) (g0.

Cette propriété aura donc lieu aussi pour les fonctions n et T, qui sont des cas particuliers de la fonction P.

La fonction P ' s'accorde avec la quantité Z ( ^) —n . ^ toutes les fois que n est un multiple de fi ; dès-lors on voit que Z peut être regardée comme la valeur moyenne de P ( j|) î

en sorte que

PG)~Z G)** un*q«antité qur nepeut passer certaines limites, en plus ou en moins.

La quantité Z^^ augmente constamment de ^ à mesure que n augmente d'une unité; la fonction P (?) n'augmente pas aussi régulièrement; cependant lorsque n est devenue n + fi, elles ont augmenté l'une et l'autre de la même quantité fi'. En général comme le (/» + i)*"* terme de la suite A — C, a A — C,etc. est (/»+ 1) A — C,

on voit que P^"*^') — P sera =0 ou = 1 , selon que. . . . (n -4- 1) A— C est divisible on* non divisible par un des facteurs de fi.

(43 1) Lorsqu'on considère la progression i , 3, 5. . .(an — i), la fonction P se change en T, et il faut faire «=7(^—1). Soit donc t(û — i)=<r, et on aura

De cette équation on déduit, en changeant le signe de n ,

T(==)=n(^)-nG).

Mais comme la progression 1 ,3,5, 7, etc. continuée dans le sens négatif, est — 1 , — 3 , — 5 , etc. , il est clair qu'on a T (zjr)= — T )• Donc des deux équations précédentes, on tire

nC42)-n('-^)=^G>

Si l'on fait dans celle-ci n=«, il en résulte n(^) = an(^; mais puisque 20+1 =fl, il est clair qu'on a n Qjj^ =*TlQC* l^=Sï'; donc n (^) = t**', ce qui donne les deux formules

TG)-»(=î-*)-*tf («')

Réciproquement de la seconde on déduit

Et cette valeur étant substituée dans la formule (c'), on aura l'expression générale de P en fonction de T , laquelle sera

KD^C-^)-^) c>

D'où il suit qu'une progression quelconque A — C, aA— C. . .«A — C,