QUATRIEME PARTIE

contient autant de termes premiers à Cl, qu'il y en a dans un pareil nombre de termes consécutifs de la suite des nombres impairs pris, non depuis le commencement de la suite, maie depuis le terme. • ae — a a jusqu'au terme ara ae— a» — 1 inclusivement.

Cette propriété établit une relation très-remarquable entre une progression arithmétique quelconque et la simple progression des nombres impairs. 11 faut en effet, d'après le résultat qu'on vient d'obtenir, que ces deux progressions étanidispo&ées, t&rwe à terme, comme il suit :

A— C, — C, A— C, aA— C...., nk — C, etc. . . . a« — ao— 3, ae — 1 , 2» — 2» 1 ,ae — a« +■ 3.^, a« — a»-f- ara — 1 , etc.

deux termes correspondants quelconques soient tous deux divisibles ou tous deux non -divisibles par l'un des facteurs de Cl. Or c'est ce qu'il est faeile de vérifier indépendamment 4e la théorie précédente; car deux termes correspondants quelconques étant représentés par n A — C et ae -f- 2/»— ao — 1 , si on observe que Ae C est divisible par Û, et que a*-*- 1 =ft, ces termes deviennent, en rejetant les multiples de Cl, l'un A(n + «) , l'autre a(ra -h e). Donc ils seront tous deux premiers à n, ou tous deux non premiers à SI, selon que n -f- c sera premier ou non premier à Cl.

Il résulte encore de cette propriété ou de l'équation (l'),que si on ne peut avoir plus de a termes consécutifs dans la suite 1 , 3 , 5, 7, 9, etc. <jui soient divisibles par quelqu'un tles facteurs de Xi, il ne pourra non plus y avoir plus de a termes consécutifs dans une progression quelconque A — C, aA — C, etc., qui aient chacun un

diviseur commun avec Cl. Car si la quantité T (^~^) augmente

d'une unité lorsque n devient n + a, il faudra qu'en même temps

P(s) ' devient p ' augmente auss» d'une unité. C'est ce

qui s'accorde avec le théorème du n°4lo.

(43a) l<es fonctions U , T , P ont encore quelques autees relaxions *6s«fc remarquâmes. D'abord , comme la progression t , a , 3 . . . . 2/1 II. i3

relative à n ( ^ , est composée de la progression i , 3 , 5 . . . (2 n — 1 )

relative à T^^Qetde la progression 2 , 4 , 6. . .an , dont les ternies divisés par 2 donnent 1 , 2, 3. . .n, il est clair qu'on a en général

TG)=nG?)-nG) m

On trouverait sembla blement

TG)=u(^)-n("-^) m

Et comme on a p(î)=n(!T-,)-n(î). si 011 fait /i = «, cette équation donnera

pG)=nœ-<)=TG) m

Faisant «= e dans la formule (1') , on aura donc TQ)=T(-^)

— ^(""Sr)* ^a*s dans cette dernière équation « esta volonté, puisqu'il ne reste plus de trace de la progression d'où • est tirée; donc on a , quel que soit n ,

TG)=TG-^)-TGv\) m

Cette formule se déduirait aussi de la combinaison des équations (k') et (m').

(433) Proposons-nous maintenant de déterminer combien il y a de nombres premiers dans la progression

A — C, aA — C, 3A — C, n\ — C,

où nous supposerons , comme ci-dessus , A et C premiers entre eux, et de plus A pair et C < A.

Le nombre A restant le même, on peut prendre pour C celui qu'on voudra des nombres premiers à A et plus petits que A , et si on re-

QUATRIÈME PARTIE. 99 présente la suite de ces valeurs .par C, ^G,, Q. . . .G*, leur nombre k se trouvera, comme on sait, par la formule

a, 6, y, etc. étant les différents nombres premiers impairs qui divisent A.

Ainsi on voit que la progression proposée fait partie d'un système de k progressions semblables dont les termes généraux sont /*A — C,, «A — C,, nA — Gs. . . .«A — C*.

Gela posé si on s'arrête à une valeur déterminée du nombre n que nous supposerons très-grand par rapporta A, tous les nombres premiers moindres que «A, excepté ceux qui divisent A, seront compris dans ces diverses progressions , et notre objet est de prouver qu'ils sont répartis également entre elles, c'est-à-dire que s'il y a P nombres premiers compris dans la progression dont le terme général est «A — CP , et Q nombres premiers compris dans la progression dont le terme général est nA — Cq> n étant le même de

part et d'autre, le rapport q deviendra aussi peu différentde l'unité

qu'on voudra en donnant à n une valeur suffisamment grande.

(434) Soit 6 un nombre premier <\/(n A) et non-diviseur de A, et soit 6' un nombre positif plus petit que G, tel que, A 6' ■+■ C soit divisible par 6 ; on a fait voir ci-dessus n" 4ai , que le nombre des termes divisibles par 0 , dans la progression qui a pour terme général n A — C, est exprimé par E^^-^)-

Or a et € étant deux valeurs de 0 relatives à deux valeurs particulières de G, telles que et C? , il est visible que les deux nombres désignés par E^'^-y-îQ, E^^-y-^, sont égaux ou ne peuvent différer au plus que d'une unité. Donc le nombre des termes divisibles par 6 , dans la progression dont le terme général est «A — C^et un semblable nombre dans la progression dont le terme général est «A — C,, seront égaux entre eux ou ne différe-

ioo THÉORIE DES NOMBRES.

ront an pins que d'une unité. Il eh est de même de» termes nondivisibles par 0 dont le nombre ne peut varier que d'une Unité au plus dune progression à l'autre.

(435) Soient 6 , \ , p. ... les différents nombres premiers moindres que l/TÂ et non-*! i viseurs de A; soit le nombre des termes de la progression A — Cp, a A — CP...nA — CP, qui restent après en avoir retranché tous les termes divisibles par l'un des nombres premiers p.. . . ; soit Nf le nombre semblable qui se rapporte à la progression A — Cj , 2 A — C? . . .«A^Cf ; en vertu du résultat précédent, la différence entre et N, ne pourra jamais être un nombre plus grand que celui des nombres premiers moindres que Vrnk> et que nous représenterons par m*=<ç (V^nÂ.).

D'un autre côté, tous les nombres N,. N,. . .NU, qui répondent aux k valeurs différentes de G, doivent composer les différents nombres premiers compris depuis |/n~Â jusqu'à aà, et leur somme est représentée par conséquent par la quantité M = <p(/i A) — <p (y"nk). Ces deux conditions ne peuvent être remplies à moins qu'on n'ait en général

£ étant une quantité constante pour toutes les valeurs de p depuis

i jusqu'à ky et xp une partie variable positive ou négative, qui ne peut jamais surpasser m et dont la somme pour toutes les valeurs de p est nulle.

(436) Mais à mesure que n augmente , le nombre m devient de

plus en plus petit par rapport à M et même par rapport à -ç (i) ,

(i) Celle proposition assez évidente par elle-même , se vérifie aisément par la

loi donnée $ VIII; on a en effet suivant cette loi M-f-'« = s . . ,

J ' log.(«A) — c1

/«— ^"/^ : dont— + i = j V (n X) . a.c quantité qui de-

-log.frtA)— c m * v ; log.(ftA) — e 1 ^ n

vient aussi grande qu'on voudra, en augmentant progressivement le nombre n.

doit il suit que le rapport des deux nombres désignés par N, et Ny , doit être censé égal à l'unité lorsque n est devenu très-grand , et qu'ainsi les M nombres premiers compris depuis l/n~K jusqu'à «A, se partagent également entre nos k progressions. Une semblable égalité a lieu dans la répartition des nombres premiers compris depuis \y n A jusqu'à \/ n A et ainsi de suite. D'ailleurs à mesure qu'on descend des limites supérieures aux inférieures, les nombres analogues à M diminuent d'une manière rapide et la petite inégalité qu'il pourrait y avoir dans leur partage entre les k progressions serait sans influence sensible sur le partage résultant de la première valeur de M. Nous pouvons donc tirer de tontes ces considérations le théorème suivant.

« La série des nombres premiers (excepté ceux qui divisent le « nombre A) se partage également entre les k différentes progrèsosions formées d'après les termes généraux nk — C,, nA — C,, « n A — Cj . ..n A — C* ^de manière «quesi $(n A) représente le nom- « bre total des nombres premiers depuis i jusqu'à la limite «A, « chacune de ces progressions continuée jusqu'au nombre de termes « n, contiendra à très-peu près autant de nombres premiers qu'il

« y a d'unités dans la quantité J«p(n A). •

Nous savons par le §VHI quelle est la valeur approchée de f (n A) ; il en résulte que la formule

X~T\oS.(nA) — i.o8366

fera connaître avec une exactitude suffisante combien il y a de nombres premiers dans la progression A — C, a A — C, 3 A — C . . . n A— C.

Par exemple, dans la progression 59, 1 19, 179. . .etc., dont le terme général est 60/1—- 1 , le nombre k, déduit des facteurs simples a, 3, 5, du nombre 6o,est3o(i — y) (1 — ■•) = '6, ce qui donne

x — \0ç (6ow^t o8366' A'ns' t*ans 'es 100000 Pr*n»«* termes de cette progression on devra trouver à très-peu près u58ao nombres

to2 THÉORIE DES NOMBRES.

bres premiers, c'est-à-dire un peu plus que le quart de tous les termes.

(437) Il est maintenant facile de déterminer combien un diviseur quadratique donné b=py* + aqjrz + rz* de la formule f + au* , contient de nombres premiers moindres qu'une limite donnée N.

Soit pour cet effet 9 (M) le nombre total des nombres premiers plus petits que N,7ç(N) exprimera celui des diviseurs premiers de la formule t* + au'. Supposons que les diviseurs quadratiques de cette formule soient partagés en k groupes comprenant chacun un égal nombre de formes linéaires k<i* + *,ou 2ax + * , comme on l'a vu dans les art 307 et 208, dont les résultats se vérifient immédiatement dans les Tables IV, V , VI et VII ; chaque groupe devra contenir par conséquent autant de nombres premiers

qu'il y a d'unités dans la quantité A 9 (N). Soit ensuite jt (1) le nombre de diviseurs quadratiques compris dans le groupe dont A fait partie, en ayant soin de compter pour 7 seulement chaque diviseur qui serait bifide, c'est-à-dire qui appartiendrait à l'un des trois cas

r/ = o, r='iq, p=r; alors— j- 9 (N) sera le nombre cherché de nombres premiers moindres que N, compris dans le diviseur A,

s'il n'est pas bifide, et la moitié seulement, savoir si

le diviseur A est bifide.

Ce résultat est fondé d'une part , sur ce que les diverses formes 4"* + « ou aax+ï, correspondantes à chaque groupe de diviseurs quadratiques, représentent des progressions arithmétiques entre lesquelles se partagent également tous les nombres premiers diviseurs de ^ + au* et dont le nombre total est 79(N) ;

D'autre part, sur ce que, si l'on forme deux séries d'après les

(1) Ce nombre p. sera le même dans tous les groupes, qui composent tous les diviseurs quadratiques d une même formule t* comme on peut le voir

dans les Tables citées.