QUATRIÈME PARTIE. io
§ XII. Méthodes pour compléter la résolution en nombres entiers des équations indéterminées du second degré.
(439J Nous avons donné dans la première partie les méthodes nécessaires pour résoudre en nombres entiers les équations indéterminées du second degré, qui sont de la forme ay* + byz-\-cz"=}l; c'est en effet à cette forme que peut être réduite toute équation proposée du second degré; mais il reste une condition à remplir lorsque l'équation dont il s'agit contient des termes du premier degré.
Soit en général ay* + byz + cz* + dy +fz -+- g= o l'équation proposée; pour faire disparaître les termes où les indéterminées
y* -4- et z' -f- ê
sont au premier degré , je fais y—— g— , z— — j— , et j'ai la transformée
o = ay'1 + b/ z' + cz" + *a*y'+ *cÇz' + a*1 + d* 9
+ b€y-h b<iz'+b<t€-i-feQ + dly'+ f*z + cê* + gV
Sup)K>sant donc aaa + ^6 + rfJ=o, ace + 6a-i-y8 = o,on aura
l = H-4ae> ê = ^-4«cî d°U l°n VOlt ^ 81 daïlS lequatlon
proposée on fait immédiatement
y+icd-fb z'-\-2a/—db
J~ bb — Aac ' bb — àac '
la transformée sera
ay'+by'z'+cz'^—W—bdf+cd?) (bb—fac)—g(bb—fac):
Je remarque maintenant qu'on peut supposer que les coefficients a, b, c des termes du second degré dans l'équation proposée, n'ont II. i4
i o6 THÉORIE « DEST NOMBRES
pas de diviseur commun ; car s'ils avaient un commun diviseur u , il faudrait que dy +fz + g fut aussi divisible par **; or cette condition est facile à remplir, en introduisant une indéterminée nouvelle à la place de y ou de z , et alors toute l'équation devient divisible par
Je remarque aussi qu'on peut faire abstraction' dd cas oixbb — frac est une quantité négative, parce qu'alors le nombre des solutions de la transformée étant toujours limité, le procédé le plus simple est de substituer successivement les valeurs trouvées dey et z dans
les formulesr = -^£f/~ > *= ''îffiT/* > afin de voir <\ue]hs soot celles qui donnent pour y et z des nombres entiers;;
On peut< se dispenser < encore de discuter rie- cas où 4ac-j quoique positif * serail égala un carré, panoeqtralors la. transformée n'a encore qu'un nombre désolations à'um té (n* 70). Une restedonc à exaainecque lecasoù»^^4«o e3tiiaiiioinbreipoaitif noiwiaiwéi
(44o> Alors la transformée ^.si elle est résoluble,, aura toujours une infinité de solutions renfermées dans un ou plusieurs systèmes, et chaque système pourra être représenté par les formules
/ = yF + *G
[ç + tyi/fib — 4«c)]"=F + G|/(&6 — 4«c).
Pour éviter la considération des cas particuliers, nous supposerons que ces formules sont préparées de manière que les nombres y , te, e , Ç, 9, sont des entiers, et que l'exposantu/i. est un.nombre.à,vOr lonté. Quelquefois la solution immédiate donnera , pour ces coefficients, des nombres affectés de la fraction il pourra arriver aussi que l'exposant n soit d'une forme désignée paire ou impaire. Mais dans tous les cas, il est facile de réduire les formules à la forme que nous supposons, où tous les, nombres. sont entiers eUexposant
// à volonté : il faut de plus se rappeler qu'on aura toujours
ç» <{,*(&•__ 4 a <?)=i.- Cela posé, il s'agit de trouver en-généraHa valeur- de n relie que
^tlATMÈSffiTPJOlTlE. T ro7
7 bb— \ac ' * AA — 4ac
soient ides entiers: i Or on a
Ainsi en substituant ces valeurs de F et G , on voit que la question se réduit* déterminer n^ermmère qiielesquanntfe^'^J^H",
\ ^--4ac ' so,ent des entiers. Four cela, nous distinguerons
deux, cas r salon, que n est pair ou impair.
Soit r n =a m , l'équation 9* — ty' (b' — 4 c) = i< » donne , en négligeant les multiples de b* — ^ac, 9"" = i; on peut donc, au lieu de « et 6, mettre «9*" et 69*"*, et alors supprimant le facteur 9*""' qui ne peut avoir aucun diviseur commun avec b* — ^ac, on trouve que la détermination de m ne dépend plus que des équations du premier degré
(«-4-v)? + zUtym ^ (6-4-6)y-t-a^m ^ .
, bb~rr\ac * ^bbn-iac /
lesquelles doivent s'accorder entre elles, pour que l'équation proposée soit résoluble en nombres entiers.
Soit a'n=am+ 1, alors, eu négligeant les multiples debb — fine, on aura encore a =«9*" et €=£9"', et la détermination de m dépendra des équations du premier degré
Y9+«-+-(aCT-+-i)S9__c «9 + 6-Haw-HK9 c bb — 4ac ' bb — 4ac ' '
lesquelles doivent encore s'accorder entre elles.
Donc dans tous les cas on trouvera les valeurs convenables de l'exposant /« parla- simple résolution d'une équation indéterminée du premier degré, et kt valeur de « qui résultera de cette solution
w8 THÉORIE DBS NOMBRES
étant en général de la forme v + (bb— '\ a c)k, où k est une indéterminée, il s'ensuit qu'on aura une infinité de valeurs de n qui satisferont à la question, de sorte qu'on aura aussi une infinité de solutions de l'équation proposée en nombres entiers. On doit d'ailleurs observer que les nombres F et G peuvent être pris chacun avec le signe qu'on voudra , ce qui donnera quatre combinaisons à examiner séparément , et d'où pourront résulter différentes solutions.
(44 1 ) Soit proposé maintenant , pour compléter cette théorie, de résoudre la question suivante :
Les nombres F et G étant donnés par la formule (? + A)' = F + Gl//V, dans laquelle ï exposant n est indéterminé, et où l'on a 9* — -y A = i , trouver toutes les valeurs de n telles que la quantité \ F -+- p. G + v s oit divis'Me par un nombre premier « qui ne divise pas A f
Voici une méthode qui a été indiquée pour cet objet par Lagrange (iMérn. de Berlin, 1 7^7.)
Je suppose d'abord qu'on connaisse une valeur de l'ex|>osant /< qui satisfait à la question; soit cette valeur/?, il faudra qu'en faisant (? + \)"=f+ gVA, la quantité xS+?*+* soit un entier. Je cherche ensuite un exposant q, tel qu'en faisant
(? + \y=:f'+ /l/A, le nombre^ soit divisible par «. Il est certain que cet exposant existe, puisqu'on peut toujours satisfaire à l'équation A <*'y = 1 . Cet exposant étant trouvé , on peut supposer en même temps que/"— 1 soit divisible par w; si cela n'était pas, on doublerait l'exposant «y; et faisant (? -+- +1/A)" ou (/"-H^VA)' =f+g"[/\ , on aurait +A^=i + a Ag", et g'=ti/g\ de sorte que/" — i et g seraient à-la-fois divisibles par «. Donc en faisant les préparations convenables, on trouvera toujours un exposant q, tel qu'en faisant (? + ^A)'=/+^VA, les nombres f— 1 et g soient l'un et l'autre divisibles par u.
Je dis maintenant qu'en prenant«=?x + /?, la quantité proposée xF+ a G -»- v sera divisible par w , quel que soit l'entier x. Car soit
