QUATRIÈME PARTIE
(/1+^l/A)'=F'+GVA, on aura F4-Gl/A=(/ + gVA) (F+GVA), d'où l'on tire F=/F' -*- g A G', G =/G'+ gW , et X F + pi G + v = (x/+ pg) F' + (-Kg A + fi/) G' + v. Mais les valeurs
développées de F' et G' étant F'=/'*+ «^A + etc.,
G' = » /** ~xg'-\- etc. , si on néglige les multiples de <•> , on aura G = o , et F'=/"*= 1 ; donc en négligeant les mêmes multiples , la quantité xF-HftGH-vse réduit à X f+ pg-hv, donc elle est divisible par w Puisque toutes les valeurs de n comprises dans la formule. . . n=qx+p satisfont à la question, il y aura toujours une de ces valeurs qui sera moindre que 7 , de sorte qu'on pourra toujours supposer p <q. Donc pour avoir l'exposant p qui donne la première solution , il faut élever 9 + 9 1/ A à ses puissances successive* o , 1 , u. , 3 . . . q — 1 , et essayer , pour chaque puissance représentée par/+ gV^ » s» 'a quantité x/+ pg + v est divisible par w. On peut aussi former directement la suite des quantités x/h- pg, en observant que cette suite est récurrente, et qu'elle a pour échelle de relation 39, — t ; d'où il suit qu'au moyen des deux premiers ternies connus l, X9 H- fi<|>, on formera aisément tous les autres. Ces calculs sont d'autant plus faciles, qu'on peut rejeter les multiples de u>, à mesure qu'ils se présentent, et si le problème est possible, il faudra que dans les q premiers termes de la suite dont il s'agit, on trouve une ou plusieurs fois X /'+ y. g ■+• v = o.
(44a) Connaissant l'exposant le plus petit pquï rendx/'+ng'-t- v divisible par un nombre premier u, voici la méthode qu'on peut suivre pour trouver a priori une valeur de n , telle que X F-f- jiG + v soit divisible par une puissance donnée u.
Nous observerons d'abord qu'on peut résoudre généralement l'équa-
L + Mx + Nw+ P**' -+-Q«»J-|-etc. , , ,, -
tion — — (im v =e, dans laquelle Let M sont
des nombres donnés, et N, P, Q, etc. des fonctions quelconques entières de x. Pour cela , il faudra déterminer x de manière que
— — - soit un entier; ayant trouvé x=l + mx\ s\ on substitue
i io THÉORIE DES ! NOMBRES.
cet tejt» leur j dans inéquation i proposée/ eUedeviendra deJa forme
^V*'*********'*^ e semblab,e à ,a proposéC)
mais dont le dénominateur est d'un degré moindre d'une unité. On aura donc, par une suite de procédés semblables, x=l-\-ux,
/' + « ar* ; *'a /* ■+ , etc. ; :d'où l'on conclura
x»/"+W«» -4- / -f- eto. jusqu'à ain terme de la forme uTx™
dans lequel a/^ sera une nouvelle indéterminée.
Gelauposé, si l'an veut v par exemple, déterminer la valeur de n telle que la quantité xF + pG + v soit divisible par »3,.on fera, ( ommcrlndessus, n=<ya; ■+•/>, et toutes choses étant dlatlleurs les mémesi, faisant de plus jtg-5=V, \gA jt', on aura
xFn»-.(*G:+ t=X'F+ j*'G'+ v. Dans cette quantité, qui est déjà divisible par u, quel que soit a:, il faudra substituer, au lieu de F 'et G' leurs valeurs développées, en omettant la troisième puissance et les puissances supérieures de g ; ces. valeurs sont :
On distinguera ensuite deux cas, selon que x est pair ou impair.
i° Sd x est pair , on pourra , À la place de v + mettre v (f—g* A) » , et développer cette quantité, en omettant les termes qui contiennent g'et les puissances supérieures de^. Par.ces substitutions, l'équa-
tion proposée ^ =e deviendra
Or /' n'étant pas divisible par u, puisque/' — i l'est, on peut supprimer du numérateur le facteur commun y?"', ce qui fait disparaître la variable en exposant; si de plus on fait^=»A',V-»-y=a»L, l'équation à résoudre deviendra
W" +t*'/'A'x+(v-îT^11--vï) A" Au
